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在一系列浮点算术运算之后，是否存在与浮点数进行小于等于比较的“最佳实践”？

我在 R 中有以下示例（尽管该问题适用于任何使用浮点的语言）。我有一个双倍x = 1，我在上面应用了一系列加法和减法。最后x应该是一个，但不是由于浮点运算（据我收集）。这是示例：

> stop_times <- seq(0.25, 2, by = .25)
> expr <- expression(replicate(100,{
    x <- 1

    for(i in 1:10) {
      tmp <- rexp(1, 1)
      n <- sample.int(1e2, 1)
      delta <- tmp / n
      for(j in 1:n)
        x <- x - delta
      x <- x + tmp
    }

    # "correct" answer is 4  
    which.max(x <= stop_times)
  }))
> eval(expr)
  [1] 5 5 5 4 4 4 5 5 5 4 5 4 4 4 5 5 4 4 5 4 5 4 5 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 5 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4
 [64] 5 4 4 4 5 5 5 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 4

一个（天真的？）解决方案是在不等式的右侧添加一些任意小的正数，如下所示

some_arbitrary_factor <- 100
stop_times <- seq(0.25, 2, by = .25) + 
  some_arbitrary_factor * .Machine$double.eps
eval(expr)
  [1] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
 [64] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

这是“最佳实践”吗？如果是，是否有关于如何选择的指南 some_arbitrary_factor？

我的具体问题是，我有时间段(t_0, t_1], (t_1, t_2], ...，需要找出给定观察x的时间段。在经历了一系列浮点算术运算后，x可能已经将边界设置为一个边界，这应该导致精确运算在哪里执行。t_it_i

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不，没有最佳实践。不幸的是，不可能有，因为几乎所有的浮点计算都会引入一些舍入误差，并且对于不同的应用，误差的后果是不同的。

通常，软件会执行一些计算，理想情况下会产生一些精确的数学结果x，但由于舍入误差（或其他问题），会产生近似值x '。在比较浮点数时，您想问一些关于x的问题，例如“Is x < 1？” 或“ x = 3.1415926……？” 所以你要解决的问题是“我如何用x '来回答这个关于x的问题？”</p>

对此没有通用的解决方案。即使x小于 1，某些错误可能会产生大于 1 的x ' 。即使 x 大于 1，某些错误可能会产生小于 1 的x '。任何特定情况下的解决方案取决于有关信息计算x '时产生的错误以及要回答的具体问题。

有时，彻底的分析可以证明关于x的某些问题可以使用x '来回答。例如，在某些情况下，我们可能会精心设计计算，以便我们知道，如果x ' < 1，则x < 1。或者，如果x ' < .99875，则x < 1。假设我们分析我们的计算用于计算x ' 并且可以显示最终误差小于 0.00125。那么，如果x ' < .99875，那么我们知道x < 1，如果x ' > 1.00125，那么x > 1。但是，如果 .99875 < x ' < 1.00125，x < 1. 在这种情况下我们该怎么办？那么，您的应用程序是采用x < 1 的路径还是x > 1 的路径更好？答案是针对每个应用程序的，没有通用的最佳实践。

我还要补充一点，发生的舍入误差量因应用程序而异。这是因为舍入误差可以以多种方式复合。一些具有少量浮点运算的应用程序将获得具有小错误的结果。一些具有许多浮点运算的应用程序也将获得适度错误的结果。但是某些行为可能会导致计算误入歧途并产生灾难性错误。因此处理舍入误差是每个程序的自定义问题。

于 2017-10-14T01:08:55.437 回答