math - 以数学方式自动计算曲线的“肘部”

Question

曲线示例如下所示。弯头点可能是 x=3 或 4。如何以数学方式自动计算曲线的弯头？

Answer 1

我创建了一个尝试实现Kneedle 算法的 Python包。

要重新创建上述函数并检测最大曲率点：

x = range(1,21)
y = [0.065, 0.039, 0.030, 0.024, 0.023, 0.022, 0.019, 0.0185, 0.0187,
     0.016, 0.015, 0.016, 0.0135, 0.0130, 0.0125, 0.0120, 0.0117, 0.0115, 0.0112, 0.013]

kn = KneeLocator(
    x,
    y,
    curve='convex',
    direction='decreasing',
    interp_method='interp1d',
)

print(kn.knee)
7

import matplotlib.pyplot as plt
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.xticks(range(1,21))
plt.plot(x, y, 'bx-')
plt.vlines(kn.knee, plt.ylim()[0], plt.ylim()[1], linestyles='dashed')

更新
Kneed 有一种改进的样条拟合方法来处理局部最小值，使用interp_method='polynomial'.

kn = KneeLocator(
    x,
    y,
    curve='convex',
    direction='decreasing',
    interp_method='polynomial',
)

print(kn.knee)
4

和新的情节：

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.xticks(range(1,21))
plt.plot(x, y, 'bx-')
plt.vlines(kn.knee, plt.ylim()[0], plt.ylim()[1], linestyles='dashed')

Answer 2

您可能想寻找具有最大绝对二阶导数的点，对于x[i]您在那里的一组离散点，可以用中心差来近似：

secondDerivative[i] = x[i+1] + x[i-1] - 2 * x[i]

如上所述，您真正想要的是具有最大曲率的点，但是二阶导数可以，并且这个中心差异是二阶导数的良好代表。

Answer 3

像这样的函数通常因其形状而被称为L 曲线。它们在通过正则化解决不适定问题时出现。

“肘”点是曲线上具有最大绝对二阶导数的点。

Answer 4

您真正想要的是具有最大曲率的点。当斜率远小于 1 时，这可以通过二阶导数来近似（正如@ebo 指出的那样），但情况并非总是如此。