math - 旋转椭圆的 y 解

Question

我希望通过扫描线为 x 的每个值找到 y 的值来绘制一个椭圆。

对于一个普通的椭圆，公式很容易找到：y = Sqrt[b^2 - (b^2 x^2)/a^2]

但是当椭圆的轴旋转时，我永远无法弄清楚如何计算 y（可能还有 x 的范围）

Answer 1

参数形式

x[t]= a Cos[t] Cos[psi] - b Sin[t] Sin[psi]

y[t]= b Cos[psi] Sin[t] + a Cos[t] Sin[psi]

其中 psi 是旋转角度，a和b是半轴。

参数 t 从 0 到 2 Pi。

或者，如果您更喜欢笛卡尔非参数形式：

(a x^2+b y^2) Cos[psi]^2 + (b x^2 +a y^2) Sin[psi]^2 + (a-b) x y Sin[2 psi]==1

这产生了 y[x] 的两个可能解，相当于非旋转情况下平方根的两个解：

y -> (-(Sqrt[2]*Sqrt[a + b - 2*a*b*x^2 + (-a + b)*Cos[2*psi]]) + 
       (-a + b)*x*Sin[2*psi]) / (2*(b*Cos[psi]^2 + a*Sin[psi]^2))

y ->   (Sqrt[2]*Sqrt[a + b - 2*a*b*x^2 + (-a + b)*Cos[2*psi]] + 
       (-a + b)*x*Sin[2*psi])/ (2*(b*Cos[psi]^2 + a*Sin[psi]^2))

好吧，你要求它:)

这些功能给出：

x 的限制是：

LimitX= +/- Sqrt[a + b + (-a + b)*Cos[2*psi]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[b])