我正在尝试使用 C 语言中的 Newton-Raphson (NR) 方法来解决查找函数根的问题。我想在其中找到根的函数主要是多项式函数，但也可能包含三角函数和对数函数。
NR 方法需要找到函数的微分。实现差异化的方法有3种：
我有数千个这样的功能，所有这些功能都需要在尽可能快的时间内找到根源。
据我所知，自动微分通常比符号更快，因为它更有效地处理“表达膨胀”问题。
因此，我的问题是，在所有其他条件相同的情况下，哪种微分方法的计算效率更高：自动微分（更具体地说，正向模式）还是数值微分？
如果您的函数确实都是多项式，那么符号导数非常简单。让多项式的系数存储在一个带有条目的数组中p[k] = a_k，其中索引 k 对应于 x^k 的系数，那么导数由带有条目的数组表示dp[k] = (k+1) p[k+1]。对于多变量多项式，这直接扩展到多维数组。如果您的多项式不是标准形式，例如，如果它们包含诸如(x-a)^2或之类的术语((x-a)^2-b)^3，则需要做一些工作才能将它们转换为标准形式，但这可能是您无论如何都应该做的事情。
如果导数不可用，则应考虑使用正割法或正则法。它们具有非常好的收敛速度（φ阶而不是二次）。regula falsi 的另一个好处是迭代仍然局限于初始间隔，这允许可靠的根分离（牛顿没有）。
另请注意，在导数的数值评估的情况下，您将需要对函数进行多次计算，最多两次。然后实际收敛速度下降到√2，这优于无导数方法。
另请注意，导数的符号表达式通常比函数本身的计算成本更高。因此，牛顿的一次迭代至少需要两次函数评估，从而破坏了收敛速度的好处。