math - 以下 beta 分布中 beta1 素数、beta2 素数和归一化常数的方程是什么？

Question

有人能告诉我 beta1 素数 (B_1) 和 beta2 素数 (B_2) 的单独方程以及归一化常数在这个 beta 分布中是什么吗？如何计算它们？

θ ^(k+β_1 -1) (1 − θ)(n−k+β_2 −1)/B(k+β_1, n-k + k+β_2)

如果你能帮助我，我将非常感激。谢谢！

Answer 1

一些预备知识：

Beta分布pdf是：

[ (\theta)^(\alpha - 1)*(1- \theta)^(\beta - 1) ] / B(\alpha, \beta)

在哪里：

• \theta 是我们通常尝试求解的介于 0 和 1 之间的随机变量。例如，使用最大似然估计 (MLE) 或 MAP 估计。
• \alpha 和 \beta 是 Beta 分布的参数，称为形状和速率
• B(\alpha, \beta) 是 Beta 函数 - 不要与 Beta 概率分布混淆。Beta函数为：

B(a,b) = [ Gamma(a)*Gamma(b) ] / Gamma(a+b)

其中 Gamma 是gamma函数，由下式给出：

伽玛（a）=（a-1）！

对于正整数 a, b。当 a,b 不是整数时，有一个更复杂的形式。因此，您可以使用软件程序使用的任何内置阶乘函数来计算 Beta 函数。

所以在你的情况下，\alpha = k + Beta_1，并且 \beta = n - k + Beta_2。这看起来像是具有二项似然的 Beta 先验的后验分布。

我假设您正在执行贝叶斯推理。如果是这种情况，那么通常我们设置：

• \alpha = "成功次数"
• \beta = "失败次数" = "总观察次数 - 成功次数"

在执行伯努利实验时，例如抛硬币或用户订阅网站。

如果您提供有关您要解决的问题的更多信息，也许我们可以提供更多帮助。