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我有一个有趣的概念问题，我想知道是否有人可以帮我量化它。基本上，我在玩一组游戏……对于每场比赛，我都知道我赢的概率、打平的概率和输球的概率（每场比赛都有不同的概率）。

在高层次上，我想知道的是：我应该关注哪些游戏？例如，我不会在我有 0% 获胜机会的游戏（或我有 100% 获胜机会的游戏）上投入任何精力。但是对于一个 50/50 的比赛，我会很在意，并且想付出最大的努力。如果不涉及平局，则很简单：“关心能力”=我获胜的几率接近 50%？但是有了关系，事情就变得复杂了。

我不确定这是否绝对必要，但如果你需要，你可以假设胜利是 0 分，平局会给你 1 分，胜利会给你 2 分。换句话说，从输到平和从平到赢一样有价值。

你也可以假设所有游戏都是独立的。基本上，我只是在寻找“护理能力”的定量指标（例如从 0 到 1 的值）。

有人对如何处理这样的事情有任何想法吗？如果你是一名经济学人，你可以想象我可以花在提高赢得比赛机会上的钱是有限的。您将如何在游戏中分配这些资金以最大化您的预期结果？

提前致谢！

编辑：对不起，我已经意识到这是一个措辞相当糟糕的问题。我没有具体说明额外投资和产出之间的关系。我想假设这是一个线性关系，但在这种情况下，你投资哪个游戏并不重要，因为它总是会以同样的方式增加你的预期价值。我的实际问题有点复杂，我需要重新考虑一下。感谢所有帮助并提出好主意的人！

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您可以将其表述为一个有约束的优化问题。

我暂时忽略平局...

所以你需要做的是首先让 a_i 成为你在游戏 i 上花费的金额。

赢得游戏 i 的机会大概是 a_i 的函数 .. 称之为 p_i(a_i)

您对游戏 i 的预期支出为 2 * p_i(a_i)

所以你的预期总支出是 P = 2* Sum( p_i(a_i) )

您对花费的金额有一些限制... sum(a_i) = A

您的目标是在约束条件下最大化 P。

使用拉格朗日方法，您可以同时求解未知数 a_i 和 lambda 的 N+1 个方程。

N个这样的方程：

 2 p_i'(a_i) = lambda

和一个约束方程

 sum(a_i) = total

如何解决这些问题将取决于 p_i 函数的结构。根据您的结构或 p_i 函数，您可能需要引入每个 a_i > 0 的附加约束。我会尝试构建我的 p_i 以避免这种情况，因为它使求解方程变得更加困难。

如果您想引入平局的机会，您可以将您的 p_i(a_i) 分成 w_i(a_i) 和 d_i(a_i) 并将每场比赛的支出更改为 2 * w_i(a_i) + 1 * d_i(a_i) 。 . 虽然这不会改变任何核心数学。

于 2010-10-07T08:54:09.470 回答
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但是对于一个 50/50 的比赛，我会很在意，并且想付出最大的努力。如果不涉及平局，则很简单：“关心能力”=我获胜的几率接近 50%？但是有了关系，事情就变得复杂了。

我不这么认为。如果您正在寻找具有 50/50 获胜机会的游戏，它不只是计算“我获胜的机会有多接近加上一半的机会与50% 并列” - 还是我误解了您的问题？

编辑：

公式如下所示：

x = 1 - abs(0.5-abs(win% + tie%/2));
                 ^ the inner 'abs' here may be useless, but i'm not sure ;)
于 2010-10-07T08:43:06.547 回答
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我认为您需要考虑的最明显的事情是改变概率需要多少资源（努力，美元，等等）？

用美元作为一个简单的例子，如果你有一个游戏，你目前有 0% 的机会获胜，但 1 美元会给你 50% 的机会获胜，那么这是一个更好的选择，而不是 1 美元有 50% 的机会获胜99%的机会。

从广义上讲，我认为您需要为每场比赛的赢/平/输应用一个价值（正如您已经提到的）。然后您可以计算出您当前的预期总价值（例如 50% 赢、25% 平局和 25% 输将给出 0.5*2+0.25*1+0.25*0 = 1.25 预期点数）。目标是然后使用所有资源来尽可能提高总预期价值。

最后一步完全取决于您的成功功能资源。对此函数的分析可能会使其成为一个简单的解决方案。

一些示例努力公式：

1) 线性 - 一个单位的资源将使您获胜和平局的概率增加 X。

这意味着只要你还没有排除失败的机会，你把努力放在哪里都没有关系。把精力投入到任何你可能会输的比赛中。

2) 反向 - 您赢得/抽奖的机会越低，您的收益就越高

如果一个单位的努力产生“X/获胜机会”增加获胜机会，那么你显然将从提升最糟糕的游戏中获得最大收益。

3）中点趋势——你越接近平等的输赢，你受益越多

这模拟了这样一个事实，即你很可能赢或很可能输的游戏最不可能被改进（如果有人比你好得多，那么努力可能并不重要）。在这种情况下，您会希望专注于那些赢/输机会几乎相等的人，以尝试获得最大的增长。

我希望这是有道理的。:)

于 2010-10-07T08:51:38.623 回答