matlab - MATLAB中布朗运动增量的方差

Question

我在 MATLAB 中模拟布朗运动，但是我得到了一个奇怪的结果，布朗运动增量的方差随着时间的推移而增长，而它应该保持不变。例如我构建了一个布朗运动系统，

brown_drift = @(t,X) 0;
brown_vol = @(t,X) .2;
brown_sys = bm(brown_drift, brown_vol);

然后我用时间步长 1 和长度 10 插入 1000 次试验

inter_brown = interpolate(brown_sys, 0:1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);
inter_brown = squeeze(inter_brown);

布朗运动的增量应该是独立的，所以如果我构造一个增量矩阵并取方差，它们应该都相同并且等于波动率参数的平方。

inc = inter_brown(2:end,:)-inter_brown(1:end-1,:);
var(inc')
ans = 0.0374    0.1184    0.2071    0.2736    0.3516    0.4190    0.5511    0.5891    0.6767    0.7647

然而，它显然不满足简单理论的结果，即每个增量的方差应该为 0.2^2。看起来未来的每个增量都会将 2*0.2^2 添加到之前增量的方差中。当布朗运动似乎满足其他理论时，我似乎无法弄清楚为什么会发生这种情况，例如在给定时间的运动方差。我在这里有什么明显的遗漏吗？

Answer 1

我会做三件不同的事情：

1）选择更小的布朗路径的时间步长。您模拟的一条路径中的步骤越多，计算出的每条路径中增量的方差就越准确（用 勾选var(var(inc))）。这意味着对于每条路径，您将获得更多相似的增量方差结果。

2）如果您的时间大于 1，增量的方差也会以不同的方式缩放（请参阅随时间变化的波动性），因此您会根据初始时间尺度得到不同的结果。IE

interpolate(brown_sys, 0:0.1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);

将导致大约0.4和

interpolate(brown_sys, 0:0.1:100, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);

将导致方差为 4。所以只需将时间更改为：

interpolate(brown_sys, 0:dt:1, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);

你应该选择dt非常小的地方，即dt = 0.001；

3）您应该考虑的方差inc而不是转置的方差。因为inter_brown您获得的矩阵在每一列上都有一个模拟路径。所以属于一条路径的步骤应该在一列中。因此，您计算的矩阵inc包含根据列中一条路径的增量。var()矩阵计算存储在一列中的样本的方差。因此，如果您想知道第一条路径增量的方差，则必须调用类似var(inc(:,1))：调用var(inc)为您提供了每条路径的差异。你可以用plot(var(inc)). 然后，您将看到增量的方差0.04与预期的一样。检查它mean(var(inc))。