neural-network - softmax函数的导数解释

Question

我正在尝试计算 softmax 激活函数的导数。我发现了这个：https : //math.stackexchange.com/questions/945871/derivative-of-softmax-loss-function 似乎没有人给出正确的推导，我们将如何获得 i=j 和 i!= j 的答案. 有人可以解释一下吗！当在 softmax 激活函数的分母中涉及求和时，我对导数感到困惑。

Answer 1

和的导数是导数之和，即：

    d(f1 + f2 + f3 + f4)/dx = df1/dx + df2/dx + df3/dx + df4/dx

为了推导 的导数，p_j我们o_i从以下开始：

    d_i(p_j) = d_i(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))

我决定使用d_i导数o_i来使这更容易阅读。使用乘积规则我们得到：

     d_i(exp(o_j)) / Sum_k(exp(o_k)) + exp(o_j) * d_i(1/Sum_k(exp(o_k)))

看第一项，导数是0if i != j，这可以用我称之为 D_ij的delta 函数来表示。这给出（对于第一个任期）：

    = D_ij * exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))

这只是我们原来的函数乘以D_ij

    = D_ij * p_j

对于第二项，当我们单独导出和的每个元素时，唯一的非零项将是 when i = k，这给了我们（不要忘记幂规则，因为和在分母中）

    = -exp(o_j) * Sum_k(d_i(exp(o_k)) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -exp(o_j) * exp(o_i) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))) * (exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))
    = -p_j * p_i

将两者放在一起，我们得到了一个非常简单的公式：

    D_ij * p_j - p_j * p_i

如果您真的需要，我们可以将其分为以下i = j几种i != j情况：

    i = j: D_ii * p_i - p_i * p_i = p_i - p_i * p_i = p_i * (1 - p_i)

    i != j: D_ij * p_i - p_i * p_j = -p_i * p_j

这是我们的答案。

Answer 2

对于它的价值，这是我基于 SirGuy 答案的推导：（如果您发现任何错误，请随时指出错误）。