我正在寻找将二维平面[0,1]x[0,1]上的点转换到单位球上的数学转换。
u最常见的投影是通过将和解释v为球坐标的角度来进行经纬度映射（映射u到[0,2PI]和v到[-PI/2, PI/2]）
这会对球体的两极产生强烈的扭曲。可以将这种变换想象为将球体包裹成糖果纸，并在两端旋转纸。这将在这两端产生扭曲。
我正在寻找的转换可能是将球体放在纸的中间并将球体的所有边放在一个点上并将它们一起旋转 - 所以你会得到一个装有球体的小纸袋. 这会在“袋子”的底部产生最小的失真，而在顶部产生最大的失真 - 如果从下面看，失真在所有方向上都是相等的。
有人能告诉我如何计算这种映射吗？
对于你描述的映射，可以使用极坐标：(x,y)-->(r,alpha)，其中r在[0,1]内，表示到矩形中心的距离O( 0.5,0.5) 到当前点 P(x,y)，以及此段在当前 alpha 值处可能具有的最大长度。然后将 r 映射到 [-PI/2, PI/2] 并将 alpha 映射到 [0,2PI]。
正确的答案取决于原始的哪个属性需要保留，因为每个不同的地图投影都会以不同的方式扭曲。有些保留区域，有些保留角度，有些保留距离。
假设案例是关于形状的，那么我建议使用Dymaxion 地图，但请注意它的平面表示不是完全矩形的。
有关其他选项，请参阅科罗拉多大学的列表。
我认为您正在寻找指数地图。另请参见使用离散指数贴图的交互式贴花合成。
如果您使用从 0 到 1 的 xy 轴（即第一象限）绘制问题草图，则使用相同的原点绘制投影的第一个八分圆，其轴从 0 到 pi/2。从原点开始标记点 (1,1)，然后从原点到该点的大小为 root(2)。您现在可以看到您的点 (1,1) 无法映射到球体上，因为它会出现在球体外部。