math - 如何为浮点选择 epsilon 值？

Question

由于我们知道0.1 + 0.2 != 0.3由于数字表示有限，我们需要改为检查 hat abs(0.1+0.2 - 0.3) < ε。问题是，对于不同的类型，我们一般应该选择什么ε值呢？是否可以根据位数以及可能执行的操作的数量和类型来估计它？

Answer 1

epsilon 的基线值是1.0与下一个最高可表示值之间的差值。在 C++ 中，此值可用作std::numeric_limits<T>::epsilon().

请注意，您至少需要将此值缩放为您正在测试的实际数字的比例。此外，由于精度仅与数值大致成比例，因此您可能希望将边距增加一个小因子以防止虚假错误：

double epsilon = std::numeric_limits<double>::epsilon();

// C++ literals and math functions are double by default
bool is_near = abs(0.1+0.2 - 0.3) <= 0.3 * (2*epsilon);

作为一个更完整的例子，一个比较双精度的函数：

bool is_approximately_equal(double a, double b) {
  double scale = max(abs(a), abs(b));
  return abs(a - b) <= scale * (2*epsilon);
}

在实践中，您应该使用的实际 epsilon 值取决于您在做什么，以及您实际需要什么样的容差。数值算法通常具有精度公差（平均值和最大值）以及时间和空间估计。但精度估计通常以characteristic_value * epsilon.

Answer 2

您可以使用以下算法估计机器 epsilon。您需要将此 epsilon 与 的整数值相乘1+(log(number)/log(2))。在您为方程式中的所有数字确定此值后，您可以使用误差分析来估计特定计算的 epsilon 值。

epsilon=1.0

while (1.0 + (epsilon/2.0) > 1.0) {
  epsilon = epsilon /2.0     
}
//Calculate error using error analysis for a + b
epsilon_equation=Math.sqrt(2*epsilon*epsilon)

document.write('Epsilon: ' + epsilon_equation+'<br>')
document.write('Floating point error: ' + Math.abs(0.2 + 0.4 -0.6)+'<br>')
document.write('Comparison using epsilon: ')
document.write(Math.abs(0.2 + 0.4 -0.6)<epsilon_equation)

根据您的评论，我在 C# 中尝试了相同的方法，它似乎有效：

using System;

namespace ConsoleApplication
{
   
    public class Program
    {
        public static void Main(string[] args)
        {
            double epsilon = 1.0;

            while (1.0 + (epsilon/2.0) > 1.0)
            {
                epsilon = epsilon/2.0;
            }

            double epsilon_equation = Math.Sqrt(2*epsilon*epsilon);

            Console.WriteLine(Math.Abs(1.0 + 2.0 - 3.0) < Math.Sqrt(3.0 * epsilon_equation * epsilon_equation));
        }
    }
}

Answer 3

我知道以下精确浮点谓词计算的方法：计算值，使用标准浮点类型，并计算错误。通常，谓词可以表示为p(x) == 0orp(x) < 0等​​。如果 的绝对值p(x)大于误差，则认为计算是精确的。否则，使用基于区间或精确有理算术。

可以根据使用的表达式估计误差。我听说过这种自动生成器，但没有找到任何参考。

据我所知，精确计算主要用于几何，谷歌搜索“精确几何计算”给出了很多关于该主题的信息。

这是一篇以某种方式解释错误估计的文章。