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我有一个表示为 11.1111111 的二进制数（ . 类似于小数点）。点前有 2 位，点后有 1024 位。这是一个高精度计算 e 的练习，但现在我不知道如何将它转换为十进制。以防万一你们想知道这个数字，这里是：

10.1011011111100001010100010110001010001010111011010010101001101010101111110111000101011000100000001001110011110100111100111100011101100010111001110001011000001111001110001011010011011010010101101010011110000100110110010000010001010001100100001100111111101111001100100100111001110111001110001001001001101100111110111110010111110100101111111000110110001101100011000011000111010111011000111101101000000110110010000000101010111011000100011000010111101011010011110111110001111011010101110101011111110101100101011000010010010000110011111101010001111101011111000001100110111011010000100001010110001101100101010101010011110111101101000110101111001110110101010101110001001101011110011111110101011111001001001101011001100001001111000011000111000011100000111001101000101101110111111000101010011010001001110110101111001111101111111010000111001000011101111100010101100010100001001101101010110111100111001101010011000010101100110010100100111101001000001110100111100101111010101111000000101010110001100000101011001100100100111110110011101011

如何将其转换为 2.718....（小数点后应该有大约 309 位）我不能简单地将每个位乘以 2^x，因为过了一会儿，数字 2^x 将 = 0，甚至使用双精度浮点数时。我使用的是 Visual Basic，所以我不确定是否存在任何更大的变量。

[由 Spektre 编辑]

只需使用我的代码运行您的字符串（基于我评论中的链接），结果是：

e(bigdecimal)=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170189257927265177296267786175561825444670874889747782175809270565601486538810885558129926100522647929865142359038501319247028975364903531383896590857864585070203793060262761378008328322397393650711101939331201
e      (text)=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170189
e (reference)=2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035402123407849819334321068170121005627880235193033224745015853904730419957777093503660416997329725088687696640355570716226844716256079882651787134195124665201030592123667719432527867539855894489697096409754591856956380236370162112047742722836489613422516445078182442352948636372141740238893441247963574370263755294448337998016125492278509257782562092622648326277933386566481627725164019105900491644998289315056604725802778631864155195653244258698294695930801915298721172556347546396447910145904090586298496791287406870504895858671747985466775757320568128845920541334053922000113786300945560688166740016984205580403363795376452030402432256613527836951177883863874439662532249850654995886234281899707733276171783928034946501434558897071942586398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764310059584116612054529703023647254929666938115137322753645098889031360205724817658511806303644281231496550704751025446501172721155519486685080036853228183152196003735625279449515828418829478761085263981395599006737648292244375287184624578036192981971399147564488262603903381441823262515097482798777996437308997038886778227138360577297882412561190717663946507063304527954661855096666185664709711344474016070462621568071748187784437143698821855967095910259686200235371858874856965220005031173439207321139080329363447972735595527734907178379342163701205005451326383544000186323991490705479778056697853358048966906295119432473099587655236812859041383241160722602998330535370876138939639177957454016137223618789365260538155841587186925538606164779834025435128

第一个是从文本转换为我的arbnum数据类型，然后再转换回文本，中间是纯文本到文本的转换（就像之前转换为十六进制的链接一样），最后是参考e

这里是你的二进制字符串的十六进制字符串：

e (hex)      =2.B7E151628AED2A6ABF7158809CF4F3C762E7160F38B4DA56A784D9045190CFEF324E7738926CFBE5F4BF8D8D8C31D763DA06C80ABB1185EB4F7C7B5757F5958490CFD47D7C19BB42158D9554F7B46BCED55C4D79FD5F24D6613C31C3839A2DDF8A9A276BCFBFA1C877C56284DAB79CD4C2B3293D20E9E5EAF02AC60ACC93ECEBh

我截断了十进制半字节大小，所以最后可能有 1,2 或 3 位未处理...

4

3 回答 3

3

  1. 将您的二进制字符串转换为十六进制

    整数部分很容易"10." -> "2."小数部分也很容易：

    10.1011011111100001010100010110 bin
10.1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 bin
 2.B    7    E    1    5    1    6    hex

    如您所见，每个 nibel 整数值也是十六进制数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F这里一些 C++ 代码：

    int i,j,l; char *t16="0123456789ABCDEF";
AnsiString s0="10.your binary number",s1="2.";
for (i=4,l=s0.Length();i<=l;)
    {
    j=0;
    if ((i<=l)&&(s0[i]=='1')) j+=8; i++;
    if ((i<=l)&&(s0[i]=='1')) j+=4; i++;
    if ((i<=l)&&(s0[i]=='1')) j+=2; i++;
    if ((i<=l)&&(s0[i]=='1')) j+=1; i++;
    s1+=char(t16[j]);
    } // here s1 holds the hex string

    这可以通过预先分配得到的 s1 大小来显着加快速度

  2. 运行hex to dec字符串转换

    AnsiString str_hex2dec(const AnsiString &hex)
    {
    char c;
    AnsiString dec="",s;
    int i,j,l,ll,cy,val;
    int  i0,i1,i2,i3,sig;
    sig=+1; l=hex.Length();
    if (l) { c=hex[l]; if (c=='h') l--; if (c=='H') l--; }
    i0=0; i1=l; i2=0; i3=l;
    for (i=1;i<=l;i++)      // scan for parts of number
        {
        char c=hex[i];
        if (c=='-') sig=-sig;
        if ((c=='.')||(c==',')) i1=i-1;
        if ((c>='0')&&(c<='9')) { if (!i0) i0=i; if ((!i2)&&(i>i1)) i2=i; }
        if ((c>='A')&&(c<='F')) { if (!i0) i0=i; if ((!i2)&&(i>i1)) i2=i; }
        if ((c>='a')&&(c<='f')) { if (!i0) i0=i; if ((!i2)&&(i>i1)) i2=i; }
        }

    l=0; s=""; if (i0) for (i=i0;i<=i1;i++)
        {
        c=hex[i];
             if ((c>='0')&&(c<='9')) c-='0';
        else if ((c>='A')&&(c<='F')) c-='A'-10;
        else if ((c>='a')&&(c<='f')) c-='A'-10;
        for (cy=c,j=1;j<=l;j++)
            {
            val=(s[j]<<4)+cy;
            s[j]=val%10;
            cy  =val/10;
            }
        while (cy>0)
            {
            l++;
            s+=char(cy%10);
            cy/=10;
            }
        }
    if (s!="")
        {
        for (j=1;j<=l;j++) { c=s[j]; if (c<10) c+='0'; else c+='A'-10; s[j]=c; }
        for (i=l,j=1;j<i;j++,i--) { c=s[i]; s[i]=s[j]; s[j]=c; }
        dec+=s;
        }
    if (dec=="") dec="0";
    if (sig<0) dec="-"+dec;

    if (i2)
        {
        dec+='.';
        s=hex.SubString(i2,i3-i2+1);
        l=s.Length();
        for (i=1;i<=l;i++)
            {
            c=s[i];
                 if ((c>='0')&&(c<='9')) c-='0';
            else if ((c>='A')&&(c<='F')) c-='A'-10;
            else if ((c>='a')&&(c<='f')) c-='A'-10;
            s[i]=c;
            }
        ll=((l*1234)>>10);  // num of decimals to compute
        for (cy=0,i=1;i<=ll;i++)
            {
            for (cy=0,j=l;j>=1;j--)
                {
                val=s[j];
                val*=10;
                val+=cy;
                s[j]=val&15;
                cy=val>>4;
                }
            dec+=char(cy+'0');
            for (;;)
                {
                if (!l) break;;
                if (s[l]) break;
                l--;
                }
            if (!l) break;;
            }
        }

    return dec;
    }

    此 C++/VCL 代码基于dec 到/从 C++ 中的十六进制字符串转换

这里有一些完整的结果（没有截断）：

e (number)=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517018925792726517729626778617556182544467087488974778217580927056560148653881088555812992610052264792986514235903850131924702897536490353138389659085786458507020379306026276137800832832239739365071110193933120100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
e (text)  =2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551701892
e (const) =2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035402123407849819334321068170121005627880235193033224745015853904730419957777093503660416997329725088687696640355570716226844716256079882651787134195124665201030592123667719432527867539855894489697096409754591856956380236370162112047742722836489613422516445078182442352948636372141740238893441247963574370263755294448337998016125492278509257782562092622648326277933386566481627725164019105900491644998289315056604725802778631864155195653244258698294695930801915298721172556347546396447910145904090586298496791287406870504895858671747985466775757320568128845920541334053922000113786300945560688166740016984205580403363795376452030402432256613527836951177883863874439662532249850654995886234281899707733276171783928034946501434558897071942586398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764310059584116612054529703023647254929666938115137322753645098889031360205724817658511806303644281231496550704751025446501172721155519486685080036853228183152196003735625279449515828418829478761085263981395599006737648292244375287184624578036192981971399147564488262603903381441823262515097482798777996437308997038886778227138360577297882412561190717663946507063304527954661855096666185664709711344474016070462621568071748187784437143698821855967095910259686200235371858874856965220005031173439207321139080329363447972735595527734907178379342163701205005451326383544000186323991490705479778056697853358048966906295119432473099587655236812859041383241160722602998330535370876138939639177957454016137223618789365260538155841587186925538606164779834025435128
e (hex)   =2.B7E151628AED2A6ABF7158809CF4F3C762E7160F38B4DA56A784D9045190CFEF324E7738926CFBE5F4BF8D8D8C31D763DA06C80ABB1185EB4F7C7B5757F5958490CFD47D7C19BB42158D9554F7B46BCED55C4D79FD5F24D6613C31C3839A2DDF8A9A276BCFBFA1C877C56284DAB79CD4C2B3293D20E9E5EAF02AC60ACC93ECEBh

这AnsiString只是具有自动重新分配功能的VCL字符串类，因此您可以简单地通过+,+=运算符添加字符串...

[Edit1] hex2dec 字符串转换说明

好的，我们有一个hex包含十六进制格式数字的字符串，并且想要计算dec哪个应该在最后以十进制格式保存相同的数字。

  1. 扫描数字的部分

    这只是用单循环扫描hex字符串O(n)并记住特殊字符的位置：

    • i0第一个整数位
    • i1最后一个整数位（小数点前）
    • i2第一个小数位（小数点后）
    • i3最后一个小数位
    • sig设置为+1从开始，如果-检测到则设置为-1表示数字的符号

    所以我们可以使用后者来进行更简单的数字提取。

  2. 转换整数部分

    整数部分是通过对十六进制数字值求和来计算的，例如：

    • 51Ah = 500h + 10h + Ah = 5*16^2 + 1*16^1 + 10*16^0 = 1306

    这通常是这样重写的：

    • 51Ah = (((5)*16 +1)*16 +10) = 1306

    您可以这样想，就像在源 BASE(10) 算术中将数字乘以目标 BASE(16)。

    因此，您首先从最高有效位开始读取。将其值添加到数字。如果没有其他整数数字出现，则停止，否则将十进制字符串乘以 16 并读取/添加下一个数字。这就是第二个 for 循环的作用。

    • if (i0) for (i=i0;i<=i1;i++)如果存在整数部分，则遍历其所有数字

    • c设置为已处理数字的十进制值<0,F>hex -> <0,15>dec

    嵌套for (cy=c,j=1;j<=l;j++)只是将整数十进制字符串s乘以16. 开始s=""; l=0;处s是十进制结果字符串，但以相反的数字顺序排列，而不是用 ASCII 编码，而是直接存在数字值，因此{0,1,2,...9}而不是{"0","1",...}andl是里面的位数s。VCL 字符串是从索引开始的1，这就是为什么for以1not开头0。那么如何将十进制字符串乘以 16？

    123*16= 100*16 +  20*16 +  3*16
      =1600    + 320    + 48

    所以再次将数字十进制值<0,9>（从最低有效值开始）读入val. 将其乘以 16（或向左移位 4 位，<<4与 相同*16）并在cy需要时添加前一个数字的进位（它从开始设置为十六进制数字值，因此它也添加...）。现在结果通常超过 1 位，这是进位的地方。因此，将结果数字设置为stos[j]=val%10并将进位设置为val/10您可以忽略，10^(j-1)因为当您处理 s[j] 时，10 的幂由j位置表示，因此如果您存储回 s[j]，则该数字的值已经被供电...这必须从最低有效数字开始，因为计算时更高的数字仍在变化。

    在此之后，如果结果需要额外的while (cy>0)数字来适应，只需添加新数字。s

    之后，只是s以正常顺序（不再反转）从数字值转换为 ASCII 复制到最终dec字符串并在需要时添加符号。这就是整数部分的全部内容。

  3. 小数部分以if (i2)

    通过在源 BASE(16) 算术中将分数乘以目标 BASE(10)，将分数转换为另一个 BASE。所以乘以10=Ah六进制算术......

        ------------
    0.B7Eh -> B7Eh
    ------------
    B7Eh * Ah = 7 2ECh
    2ECh * Ah = 1 D38h
    D38h * Ah = 8 430h
    430h * Ah = 2 9E0h
    -------------
    0.B7Eh -> 0.7182 dec
    ------------

    确定如果存在小数部分，则添加到最后的dec字符串小数点.。并将所有小数十六进制数字提取为s字符串（首先是最高有效数字）从 ASCII 转换为十六进制数字值<0,15>并设置l为小数位数。然后计算这ll是由十六进制小数位数表示的十进制小数l位数ll=l*1234/1024正如您在示例中看到的那样，您有时可以无限循环转换生成新的小数位数，以便ll了解何时停止...

    转换在ll计算之后开始。for (cy=0,i=1;i<=ll;i++)只是循环遍历所有结果数字来计算。在其每次迭代中，s乘以10但这次是在十六进制算术中。这就是为什么s[j]=val%16和cy=val/16。我使用位操作AND，Bit-shift但结果是一样的。在乘法之后，进位包含十进制小数位，因此它被添加到最终结果中。

    最后一个for只是检查子结果​​是否s不以零结尾，是否将其切断（按l--），如果没有更多有效数字，则停止该过程。这大大加快了处理大量数字的过程......

希望它对您的描述已经足够...

于 2015-11-19T09:26:53.997 回答
1

小数点后的每一个二进制数字代表2^-n的十进制权重，从n=1开始。

这可以使用任何使用 Horner 方法的 bignum 库进行评估：（这只是伪代码）

power_of_five = 1;
digits = 0;
while digits_left
  digits = digits * 10;
  power_of_five = power_of_five * 5;
  if (next_digit_is_set)
     digits = digits + power_of_five;
end

这将产生一个 1024 位的 bignum，其中只有前 309 个是重要的。

于 2015-11-19T09:09:08.117 回答
1

您可以使用 System.Numerics BigInteger。它可以容纳大量数字。 https://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.numerics.biginteger%28v=vs.110%29.aspx

编辑：我认为小数点后的二进制应该照常计算。因此，最后一位将是 2^1，其中 1 会一直增加到点。这使得数字看起来像 1.2*10^308。然后将截断为 2.12 ......

但它实际上是点被计为 2^-1 和 -1 减少到 2^-1024 之后的第一位。从而呈现一个无法用 BigInteger 表示的 0.x 数字。

于 2015-11-19T08:05:11.603 回答