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我有形式的实验数据和形式(X,Y)的理论模型，(x(t;*params),y(t;*params))其中t是物理（但不可观察）变量，并且*params是我想要确定的参数。是一个连续变量，在模型中和和之间t存在1:1的关系。xtyt

在一个完美的世界里，我会知道T（参数的真实世界值）的值，并且能够做一个非常基本的最小二乘拟合来找到 的值*params。（请注意，我并没有尝试在我的图中“连接” 和 的值x，y例如31243002或31464345。）我不能保证在我的真实数据中，潜在值T是单调的，因为我的数据是跨多个周期收集的。

我对手动进行曲线拟合不是很有经验，并且必须使用极其粗糙的方法而无法轻松访问基本的 scipy 函数。我的基本方法包括：

  1. 选择一些值*params并将其应用于模型
  2. 取一个t值数组并将其放入模型中以创建一个数组model(*params) = (x(*params),y(*params))
  3. 插值X（数据值）model得到Y_predicted
  4. Y在和之间运行最小二乘（或其他）比较Y_predicted
  5. 再做一套新的*params
  6. 最终，选择最佳值*params

这种方法有几个明显的问题。

1）我没有足够的编码经验来开发一个非常好的“再做一次”，而不是“尝试解决方案空间中的所有内容”，也许是“在粗略的网格中尝试所有内容”，然后“再次尝试所有内容”粗网格热点中的细网格。” 我尝试使用 MCMC 方法，但我从未找到任何最佳值，主要是因为问题 2

2) 步骤 2-4 本身就非常低效。

我尝试过类似的东西（类似于伪代码；实际功能是由组成的）。关于在 A、B 上使用广播可以提出许多小问题，但这些问题不如需要为每一步进行插值的问题重要。

我认识的人建议使用某种期望最大化算法，但我对此知之甚少，无法从头开始编写代码。我真的希望有一些很棒的 scipy（或其他开源）算法我无法找到涵盖我的整个问题，但在这一点上我不抱希望。

import numpy as np
import scipy as sci
from scipy import interpolate

X_data
Y_data

def x(t,A,B):
    return A**t + B**t
def y(t,A,B):
    return A*t + B

def interp(A,B):
    ts = np.arange(-10,10,0.1)
    xs = x(ts,A,B)
    ys = y(ts,A,B)
    f = interpolate.interp1d(xs,ys)
    return f

N = 101
lsqs = np.recarray((N**2),dtype=float)

count = 0
for i in range(0,N):
    A = 0.1*i            #checks A between 0 and 10
    for j in range(0,N):
        B = 10 + 0.1*j   #checks B between 10 and 20

        f = interp(A,B)
        y_fit = f(X_data)
        squares = np.sum((y_fit - Y_data)**2)

        lsqs[count] = (A,b,squares) #puts the values in place for comparison later
        count += 1        #allows us to move to the next cell

i = np.argmin(lsqs[:,2])

A_optimal = lsqs[i][0]
B_optimal = lsqs[i][1]
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如果我正确理解了这个问题，参数是每个样本中相同的常量，但因样本而t异。因此，例如，也许您有一大堆点，您认为这些点是从一个圆圈中采样的

x = a+r cos(t)   
y = b+r sin(t)

在不同的值t。

在这种情况下，我要做的是消除变量以获得和t之间的关系——在这种情况下，. 如果您的数据完全符合模型，那么您将拥有每个数据点。有一些错误，你仍然可以找到最小化xy(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2(a,b,r)

sum_i ((x_i-a)^2 + (y_i-b)^2 - r^2)^2.

Mathematica 的Eliminate命令在某些情况下可以自动执行消除 t 的过程。

PS 你可能在 stats.stackexchange、math.stackexchange 或 mathoverflow.net 上做得更好。我知道最后一个的名声很吓人，但我们不咬人，真的！

于 2017-04-12T01:38:27.320 回答