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我正在尝试求解一组 Ax = 0 形式的方程。A 是已知的 6x6 矩阵，我使用 SVD 编写了以下代码来获得在一定程度上起作用的向量 x。答案大致正确但不足以对我有用，如何提高计算的精度？将 eps 降低到 1.e-4 以下会导致函数失败。

from numpy.linalg import *
from numpy import *

A = matrix([[0.624010149127497 ,0.020915658603923 ,0.838082638087629 ,62.0778180312547 ,-0.336 ,0],
[0.669649399820597 ,0.344105317421833 ,0.0543868015800246 ,49.0194290212841 ,-0.267 ,0],
[0.473153758252885 ,0.366893577716959 ,0.924972565581684 ,186.071352614705 ,-1 ,0],
[0.0759305208803158 ,0.356365401030535 ,0.126682113674883 ,175.292109352674 ,0 ,-5.201],
[0.91160934274653 ,0.32447818779582 ,0.741382053883291 ,0.11536775372698 ,0 ,-0.034],
[0.480860406786873 ,0.903499596111067 ,0.542581424762866 ,32.782593418975 ,0 ,-1]])

def null(A, eps=1e-3):
  u,s,vh = svd(A,full_matrices=1,compute_uv=1)
  null_space = compress(s <= eps, vh, axis=0)
  return null_space.T

NS = null(A)
print "Null space equals ",NS,"\n"
print dot(A,NS)
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A满秩 ---x也是0

因为看起来你需要一个最小二乘解决方案，即min ||A*x|| s.t. ||x|| = 1，做 SVD 使得[U S V] = svd(A)最后一列V（假设列按奇异值递减的顺序排序）是x。

IE，

U =

     -0.23024     -0.23241      0.28225     -0.59968     -0.04403     -0.67213
      -0.1818     -0.16426      0.18132      0.39639      0.83929     -0.21343
     -0.69008     -0.59685     -0.18202      0.10908     -0.20664      0.28255
     -0.65033      0.73984    -0.066702     -0.12447     0.088364       0.0442
  -0.00045131    -0.043887      0.71552     -0.32745       0.1436      0.59855
     -0.12164      0.11611       0.5813      0.59046     -0.47173     -0.25029


S =

       269.62            0            0            0            0            0
            0       4.1038            0            0            0            0
            0            0        1.656            0            0            0
            0            0            0       0.6416            0            0
            0            0            0            0      0.49215            0
            0            0            0            0            0   0.00027528


V =

    -0.002597     -0.11341      0.68728     -0.12654      0.70622    0.0050325
   -0.0024567     0.018021       0.4439      0.85217     -0.27644    0.0028357
   -0.0036713      -0.1539      0.55281      -0.4961      -0.6516   0.00013067
      -0.9999    -0.011204   -0.0068651    0.0013713    0.0014128    0.0052698
    0.0030264      0.17515      0.02341    -0.020917   -0.0054032      0.98402
     0.012996     -0.96557     -0.15623      0.10603     0.014754      0.17788

所以，

x =

    0.0050325
    0.0028357
   0.00013067
    0.0052698
      0.98402
      0.17788

并且，||A*x|| = 0.00027528与您之前的xwhere解决方案相反||A*x_old|| = 0.079442

于 2010-06-07T20:47:12.633 回答
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注意：python 与 matlab-syntax(?) 中的 SVD 可能会混淆：在 python 中，numpy.linalg.svd(A) 返回矩阵 u,s,v 使得 u*s*v = A（严格来说： dot(u, dot(diag(s), v) = A，因为 s 是向量而不是 numpy 中的二维矩阵）。

在这个意义上，最上面的答案是正确的，通常你写 u*s*vh = A 并返回 vh，这个答案讨论的是 v AND NOT vh。

长话短说：如果你有矩阵 u,s,v 使得 u*s*v = A，那么 v 的最后一行，而不是v 的最后一列，描述了零空间。

编辑：[对于像我这样的人：]最后一行是一个向量 v0 使得 A*v0 = 0 （如果相应的奇异值为 0）

于 2011-04-20T10:39:11.020 回答