math - 3D：无论相机的变焦距如何，在屏幕上绘制的水平线都保持在相同的高度

Question

我有这个奇怪的用例。

这些变量是已知的：

现在，我希望在屏幕上以特定的2D 高度“YY”绘制地平线（地平线位置）。相机 X 轴旋转必须是什么才能在“YY”处绘制地平线？= (0,0,Infinite)

你可能会问我为什么需要这个：好吧，当我改变相机变焦时，地平线会改变屏幕上的位置（在所有情况下，除了 X 轴旋转时= 0）。我需要能够更改相机变焦并保持地平线不变（相对于其 2D 位置）。AFAIK，这只能通过相应地改变 X 轴旋转来实现。

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在定义明确的对称视锥体的情况下，可以通过一些简单的几何图形找到解决方案：

问题可视化

我假设YY是标准化的设备坐标（范围从-1到1）。如果它们在像素坐标中，则必须对其进行转换。

我选择投影平面距离相机 1 个单位。但任何其他距离也可以。然后，距离y'很简单

y' = YY * H/2

H/2是半屏高度，可以通过以下公式计算：

H/2 = tan (fovy/2)

其中fovy是相机在垂直方向上的视野。

您想找到alpha旋转的角度。这很简单：

tan alpha = y' / 1 = YY * tan(fovy / 2)
    alpha = atan(YY * tan(fovy / 2)

注意方向。正值指定向下旋转。

对于任意投影，这个问题可以解析解决：

假设我们有投影矩阵P和视图矩阵V，我们要解决：

w-clip(P * V * (0 0 1 0)^T) = (... YY ...)

由于您只想允许相机绕 x 轴平移和旋转，V因此具有以下形式：

    / 1  0           0          tx \
V = | 0  cos alpha  -sin alpha  ty |
    | 0  sin alpha   cos alpha  tz |
    \ 0  0           0          1  /

这产生了等式：

YY = (p23 * cos alpha - p22 * sin alpha) / (p43 * cos alpha - p42 * sin alpha)

其中是第 - 行和第 - 列中pij的条目。Pij

使用您最喜欢的符号求解器来获得解决方案alpha，您可以重新计算您的视图矩阵。

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