python - 如何使用 Python 内置函数 odeint 求解微分方程？

Question

我想用给定的初始条件求解这个微分方程：

(3x-1)y''-(3x+2)y'+(6x-8)y=0, y(0)=2, y'(0)=3

答案应该是

y=2*exp(2*x)-x*exp(-x)

这是我的代码：

def g(y,x):
    y0 = y[0]
    y1 = y[1]
    y2 = (6*x-8)*y0/(3*x-1)+(3*x+2)*y1/(3*x-1)
    return [y1,y2]

init = [2.0, 3.0]
x=np.linspace(-2,2,100)
sol=spi.odeint(g,init,x)
plt.plot(x,sol[:,0])
plt.show()

但我得到的与答案不同。我做错了什么？

Answer 1

这里有几件事是错误的。首先，你的方程显然是

(3x-1)y''-(3x+2)y'-(6x-8)y=0; y(0)=2, y'(0)=3

（注意 y 中项的符号）。对于这个方程，你的解析解和定义y2是正确的。

其次，正如@Warren Weckesser 所说，您必须传递 2 个参数y：g( y[0]y)、y[1](y') 并返回它们的导数 y' 和 y''。

第三，您的初始条件是针对 x=0 给出的，但您要积分的 x 网格从 -2 开始。从 docs for odeint，这个参数，t在他们的调用签名描述中：

odeint(func, y0, t, args=(),...)：

t : array 要求解 y 的时间点序列。初始值点应该是这个序列的第一个元素。

因此，您必须从 0 开始积分或提供从 -2 开始的初始条件。

最后，您的积分范围涵盖了 x=1/3 处的奇点。odeint可能在这里过得很糟糕（但显然没有）。

这是一种似乎有效的方法：

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def g(y, x):
    y0 = y[0]
    y1 = y[1]
    y2 = ((3*x+2)*y1 + (6*x-8)*y0)/(3*x-1)
    return y1, y2

# Initial conditions on y, y' at x=0
init = 2.0, 3.0
# First integrate from 0 to 2
x = np.linspace(0,2,100)
sol=odeint(g, init, x)
# Then integrate from 0 to -2
plt.plot(x, sol[:,0], color='b')
x = np.linspace(0,-2,100)
sol=odeint(g, init, x)
plt.plot(x, sol[:,0], color='b')

# The analytical answer in red dots
exact_x = np.linspace(-2,2,10)
exact_y = 2*np.exp(2*exact_x)-exact_x*np.exp(-exact_x)
plt.plot(exact_x,exact_y, 'o', color='r', label='exact')
plt.legend()

plt.show()