haskell - 指数类型的推广

Question

(如果有的话) (->)( a -> bas b ^a ) 的指数解释如何推广到 Hask/Set 以外的类别？例如，对于非确定性函数类别的解释似乎大致Kliesli [] a b为2 ^{a * b} ( a -> b -> Bool)。

Answer 1

指数的概念可以用一般术语定义，超出 Hask/Set。具有指数和乘积的类别称为笛卡尔封闭类别。这是理论计算机科学中的一个关键概念，因为每个 cc 类别本质上都是类型化 lambda 演算的模型。

粗略地说，在任何一对对象的笛卡尔封闭范畴中都a,b存在：

• 一个产品对象(a * b)，和
• 指数对象(b^ab)

带态射

• eval : (b^a)*a -> b（在 Haskell 中： \(f,x) -> f x，AKA 应用）
• 对于任何f : (a*b)->c，都存在Lf : a -> (c^b)（在 Haskell 中curry f：）

满足等式“他们喜欢 lambda 演算”，即如果f : (a*b)->c，则：

• f = (Lf * id_a) ; eval

在 Haskell 中，最后一个等式是：

• f = \(x :: (a,b), y :: a) -> apply (curry f x, id y) where apply (g,z) = g z

或者，使用箭头，

• f = (curry f *** id) >>> apply where apply (g,z) = g z