algorithm - 计算用于定义二次贝塞尔曲线分段的参数

Question

我有一个二次贝塞尔曲线，描述为（startX，startY）到（anchorX，anchorY）并使用控制点（controlX，controlY）。

我有两个问题：

(1) 我想根据 x 点确定该曲线上的 y 点。

（2）然后，给定我的贝塞尔曲线上的线段（由贝塞尔曲线上的两个中间点（startX'，startY'，anchorX'，anchorY'）定义），我想知道该线段的控制点使其与原始贝塞尔曲线完全重叠。

为什么？我想要这些信息进行优化。我正在画很多水平贝塞尔曲线。当贝塞尔曲线大于屏幕时，性能会受到影响，因为渲染引擎最终会渲染超出可见范围。这个问题的答案将让我只渲染可见的内容。

Answer 1

第1部分

二次贝塞尔曲线的公式是：

B (t) = a (1-t) 2     + 2 b t(1-t) + c t 2 
     = a (1-2t+t 2 ) + 2 b t - 2 b t 2 + c t 2 
     = ( a -2 b + c )t 2 +2( b - a )t + a

其中粗体表示一个向量。给定B _x (t)，我们有：

x = ( a x -2 b x + c x )t 2 +2( b x - a x )t + a x

其中v _x是 v 的 x分量。

根据二次公式，

     -2( b x - a x ) ± 2√(( b x - a x ) 2 - a x ( a x -2 b x + c x ))
t = -----------------------------------------
             (2 a x ( a x -2 b x + c x ))
             
     a x - b x ± √( b x 2 - a x c x )
  = ----------
         a x ( a x -2 b x + c x )

假设存在一个解，将 t 代入原始方程，以获得给定 x 处的B (t) 的其他分量。

第2部分

您可以简单地将参数参数的域限制为 [0,1] 的适当子区间，而不是生成与第一条的一部分重合的第二条贝塞尔曲线（我现在不想处理符号）。也就是说，使用第 1 部分来找到两个不同 x 值的 t 值；将这些 t 值称为 i 和 j。为 t ∈ [i,j]画B (t)。等效地，为 t ∈ [0,1] 绘制B (t(ji)+i)。

Answer 2

t方程错误，需要使用eq(1)

(1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

并使用根 (2) 的二次公式求解。

           -b ± √(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

在哪里

a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x