image-processing - 傅里叶变换只处理周期信号吗？

Question

非周期信号可以通过 DFT 进行处理。DFT可以同时处理周期和非周期信号吗？

Answer 1

离散傅里叶变换 (DFT) 定义了 N 点时域序列 x[n], n=0..N-1 和 N 点频域序列之间的关系（傅里叶变换的样本在\omega = 0 和 2\pi) X[k], k=0..N-1。正向变换由下式给出：

X[k] = 1/N \sum_{n=0}^{N-1} x[n] exp{-j 2\pi k.n/N}

可以表示为矩阵乘法

X = D x

其中 x 和 X 是对应于时域和频域的 N 元素列向量，D 是 N×N DFT 矩阵，

D_{kn} = 1/N exp{-j 2\pi k.n/N}

（因此逆变换是从 D 的矩阵逆中得出的）。

因此，您可以为任何 N 点输入序列 x[n] 计算 X[k]，而为有限长度序列定义周期性甚至没有多大意义。如果 x[n] 可以分解成几个完全重复的片段（例如，重复的 N/2 点序列），那么我们将在 X[k] 中看到相应的结构（所有奇数光谱样本都将为零）例子）。

现在，您可以将 DFT 解释为无限持续时间的周期性序列的傅里叶变换，该序列由您开始的 N 点时域序列的无限次重复组成。在这种情况下，DFT 值 X[k] 对应于构成这个无限能量（但有限功率）序列的频谱的狄拉克增量的权重。

但您也可以将其解释为对有限长度序列的傅立叶变换进行采样，等效于一个无限持续时间序列，恰好仅在有限的 N 点范围内不为零。在这种情况下，X[k] 值是完整的连续频率傅里叶变换的有限值样本。

Answer 2

是的你可以。这里做了一个很好的解释， 下面直接引用。（http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e12/Lectures/FourierXform/FourierXFormI.html）

周期函数似乎没有傅立叶变换，因为它违反了第一个收敛标准。但是，如果我们允许脉冲函数，我们可以绕过这个限制（这将允许我们对周期性和非周期性函数使用傅里叶变换）。

考虑一个频域函数，它是一个简单的按 2p 缩放的脉冲（缩放因子稍后会很方便）。

我们可以通过计算傅里叶逆变换找到对应的时域函数，

（最后一步是使用脉冲函数的筛选属性执行的。）请注意，时域函数 x(t) 是周期性的。因此，如果我们允许傅里叶域中的脉冲，我们可以在时域中具有周期函数。这是一个特例，但我们可以用傅里叶变换来表示任何（受傅里叶级数等收敛标准）周期函数。首先考虑一个傅里叶变换，它是脉冲的无限总和（这是人为的，但它简化了一些有用的东西）。

（这个推导也使用了筛选属性。）因此，要找到周期信号 x(t) 的傅立叶变换，首先找到傅立叶级数系数​​ cn，然后