matrix - 投影矩阵在平面上投影一个点

Question

如何确定 4x4 S矩阵以使 P 在 XZ (Y=0) 平面上投影到 Q 中？

Q = S P

Answer 1

射线的坐标为r ( t ) = L + t * ( P - L )。那是组件形式：

r_x = L_x + t*(P_x-L_x)
r_y = L_y + t*(P_y-L_y)
r_z = L_z + t*(P_z-L_z)

现在你需要找到Q = r (t) 使得r_y = 0. 这是在t = -L_y/(P_y-L_y)或

Q_x = L_x - L_y/(P_y-L_y)*(P_x-L_x)
Q_y = 0
Q_z = L_z - L_y/(P_y-L_y)*(P_z-L_z)

通常，投影平面由单位法向量n =(n_x,n_y,n_z)和平面到原点的距离d定义。如果r ( t )· n = d则点r ( t ) 位于平面上，其中 · 是向量点积。

点Q的解一般是

t = ( d - n · L )/( n ·( P - L ))

Q = L + t *( P - L )

在伪C风格代码中，上面是：

// L : Light Source 
// P : Point to be projected
// n : Plane _unit_ normal vector
// d : Distance of plane to the origin
// returns: The point Q along the ray that intersects the plane.
Vector3 HitPlaneWithRay(Vector3 L, Vector3 P, Vector3 n, double d)
{
    double t = (d-Dot(L,n))/Dot(P-L,n);
    return L + t*(P-L);
}
// Intersect ray with floor (Normal=[0,1,0], Distance=0)
Vector3 HitFloorWithRay(Vector3 L, Vector3 P)
{
    return HitPlaneWithRay(L, P, Vector3.J, 0);
}

Answer 2

我将给出从点L到平面E的中心投影的一般解决方案（假设L不包含在E中）。

为方便起见，我将使用 Octave/MATLAB 表示法。

让L在齐次坐标中给出

L=[lx ly lz 1]'

并且E以 Hessian 范式给出（也是齐次坐标）

E=[nx, ny, ,nz, d]'

其中 [nx, ny, nz] 是平面的法线，d 是它到原点的有符号距离。

那么通过投影L的中心将任意点P（也在齐次坐标中）投影到平面E的矩阵S是

S=eye(4)*(L'*E)-L*E'

中心投影是

Q=S*P

作为 Octave/MATLAB 函数

% A matrix S describing central projection to a plane E
% L a point in homogeneous coordinates of projective 3-space
% E a plane in homogeneous coordinates of projective 3-space
% Requirement: scalar product of L and E is non-zero (i.e. L is not contained in E)
function S = central_projection_to_plane(L, E)
    S = [
     + L(2)*E(2) + L(3)*E(3) + L(4)*E(4), - L(1)*E(2)                         , - L(1)*E(3)                         , - L(1)*E(4)                        ;
     - L(2)*E(1)                        , + L(1)*E(1) + L(3)*E(3) + L(4)*E(4) , - L(2)*E(3)                         , - L(2)*E(4)                        ;
     - L(3)*E(1)                        , - L(3)*E(2)                         , + L(1)*E(1) + L(4)*E(4) + L(2)*E(2) , - L(3)*E(4)                        ;
     - L(4)*E(1)                        , - L(4)*E(2)                         , - L(4)*E(3)                         , + L(1)*E(1) + L(2)*E(2) + L(3)*E(3)
];
end % function

PS：要得出这个，请注意通过L和P的线可以写成 4x4 Plücker 矩阵

Rx=L*P'-P*L'.

直线 Rx 和平面E的交点很简单

Q=Rx*E
 =(L*P'-P*L')*E
 =(eye(4)*(L'*E)-L*E')*P
 =S*P

另见：https ://en.wikipedia.org/wiki/Plücker_matrix