math - 使用到 3-D 中其他三个点的距离来定位一个点

Question

假设我们在 3-D 中有 4 个点（P1、P2、P3、P4）。如果这些点的坐标给出了它们到第五个点 P5 (r1, r2, r3, r4) 的欧几里德距离，如何计算 P5 的坐标？

在这篇文章中， Don Reba的回答非常适合二维。但是如何将其扩展到 3-D？

这是我的二维代码：

    static void localize(double[] P1, double[] P2, double[] P3, double r1, double r2, double r3)
    {
        double[] ex = normalize(difference(P2, P1));
        double i = dotProduct(ex, difference(P3, P1));
        double[] ey = normalize(difference(difference(P3, P1), scalarProduct(i, ex)));
        double d = magnitude(difference(P2, P1));
        double j = dotProduct(ey, difference(P3, P1));
        double x = ((r1*r1) - (r2*r2) + (d*d)) / (2*d);
        double y = (((r1*r1) - (r3*r3) + (i*i) + (j*j)) / (2*j)) - ((i*x) / j);
        System.out.println(x + " " + y);

    }

我想用签名重载函数

static void localize(double[] P1, double[] P2, double[] P3, double[] P4, double r1, double r2, double r3, double r4)

Answer 1

维基百科三边测量文章描述了答案。计算步骤为：

1. e _x = (P2 - P1) / ‖P2 - P1‖</li>
2. i = e _x (P3 - P1)
3. e _y = (P3 - P1 - i · e _x ) / ‖P3 - P1 - i · e _x ‖</li>
4. d = ‖P2 - P1‖</li>
5. j = e _y (P3 - P1)
6. x = (r ₁ ² - r ₂ ² + d ² ) / 2d
7. y = (r ₁ ² - r ₃ ² + i ² + j ² ) / 2j - ix / j
8. z = ±sqrt(r ₁ ² - x ² - y ² )

Answer 2

您需要求解四个方程组（i=1..4，Di 是到第 i 个点的距离）

(X-Xi)^2+(Y-Yi)^2+(Z-Zi)^2=Di^2

可以求解三个方程组并使用第四个来选择合适的解（从两个中）。

这就是 GPS 的工作方式（时间延迟是距离）。

在 GPS 接收器中，经常使用优化方法，特别是当有许多卫星可用且代数解可能不稳定时。