我正在学习单位四元数以及如何使用它们来表示和组合旋转。维基百科说它们比矩阵表示在数值上更稳定，但没有给出参考。谁能向我解释（最好用一些数学推理）为什么使用单位四元数来处理旋转（例如对于 OpenGL 应用程序）而不是旋转矩阵在数值上更稳定？是因为避免了云台锁吗？
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那篇维基百科的文章是有偏见的。从
截至 2014 年 4 月 18 日：
在计算机上进行多次旋转时，舍入误差必然会累积。稍微偏离的四元数在归一化后仍然表示旋转：稍微偏离的矩阵可能不再是正交的，并且更难转换回适当的正交矩阵。
这是有偏见的。重新正交化旋转矩阵并不难，例如：
并且四元数也必须重新标准化：“稍微偏离的四元数仍然代表标准化后的旋转”。四元数在这里没有显着优势。
我会尝试在维基百科中解决这个问题。这种有偏见的观点也出现在维基百科的其他地方...... :(
这回答了你的问题。
更新：我忘了提：万向锁在这里不起作用；四元数和旋转矩阵都不会受此影响。
一些旁注。尽管四元数比旋转矩阵更紧凑，但使用四元数会导致整个应用程序中的数值计算减少，这一点一点也不明确，请参阅：
仅作记录：旋转矩阵已在资源受限的微控制器上成功用于跟踪方向，请参阅方向余弦矩阵 IMU： William Premerlani 和 Paul Bizard 的理论。我在微控制器 (MSP430) 上跟踪方向方面也有第一手经验，我只能说旋转矩阵在跟踪方向方面是快速且稳定的。
我的观点是：当用于跟踪方向时，旋转矩阵和四元数之间没有显着差异。
如果您已经有一个使用四元数表示旋转的库，那么请坚持使用四元数；如果您的库已经使用旋转矩阵，则使用旋转矩阵。即使一种表示可以在这里和那里为您节省一些浮点运算，也没有必要更改您的应用程序/库以使用另一种表示；即使在资源受限的微控制器上，节省的费用也是微不足道的。
我看到的四元数唯一真正的优势是四元数可以用于插值。旋转矩阵和欧拉角都不能做到这一点。
于 2014-04-18T09:58:48.077 回答
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不确定这在数学上是否足以满足您的口味，但无论如何我都会试一试：旋转矩阵的问题在于它包含冗余信息。您有 9 个值对只有 3 个自由度的变换进行编码。
由于这种冗余，对矩阵中的 9 个值存在约束，以形成有效的旋转矩阵。矩阵必须是正交的，这意味着行向量必须是正交的（每个向量的长度为 1，每对的标量积为 0）。
当您更新旋转矩阵时，通常通过将其与增量旋转矩阵连接起来，会引入数值错误。这些错误随着每次更新而累积。除非你对它做点什么，否则行向量离正交标准越来越远。一旦矩阵远离正交，它就可以开始明显地变形它所应用的几何体（倾斜、缩放等）。
在使用旋转矩阵时，您可以通过定期对行向量进行正交归一化来避免这些问题。只需要一些简单的向量操作就可以做到这一点，所以没什么大不了的。
于 2014-04-18T03:05:26.767 回答
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“万向节锁定”是一个红鲱鱼 - 矩阵和单位四元数都不受万向节锁定的影响。
与四元数相比，矩阵实际上在保持旋转序列上的数值稳定性方面具有很小的优势，因为生成矩阵乘积中的每个元素所需的 FP 操作更少。四元数在纠正数值漂移方面有一点优势（要真正做好矩阵的工作，你需要做一个 SVD）。
不过，老实说，它不太可能对您的应用程序产生重大影响，并且数值稳定性背后的理论变得非常棘手。如果你真的对该领域感兴趣，我可以推荐 Higham 的Accuracy and Stability of Numerical Algorithms。
于 2014-04-18T10:21:00.900 回答
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我有一个应用程序，其中我有一辆遵循样条曲线的“汽车”。我计算样条的导数来定义一个前向向量，然后我计算左向量和上向量来创建一个方向矩阵。然后我把它分解成一个四元数。
当我将这些四元数转换为动画中的关键帧时，Q_z 会从 -1 变为 1。
于 2015-04-11T20:46:04.887 回答
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使用单位四元数可能比矩阵更不稳定。
1. 如果您转换单位四元数并假设它是单位（不是按平方幅度加权系数），那么您可能会得到巨大的错误。如果你从破碎的矩阵转换回四元数，反之亦然，你可以很快达到不稳定的旋转。
- 四元数的顺序乘法，将它们漂移到非单位长度。和以前一样会产生破碎的矩阵。
为避免此错误，您应该在每次产生舍入错误的操作后对四元数进行归一化。或者假设您的四元数为非单位，并转换为带权重的矩阵（大约额外 8flops ）。
注意：许多操作比使用单位执行得更快，例如从矩阵转换。
于 2014-04-18T11:13:24.673 回答