math - 最小化包含积分的函数

Question

有谁知道如何在 MATLAB 中最小化包含积分的函数？该函数如下所示：

L = Int(t=0,t=T)[(AR-x)dt], A is a system parameter and R and x are related through:  
dR/dt = axRY - bR, where a and b are constants.  
dY/dt = -xRY

我在某处读到我可以结合使用 fminbnd 和 quad，但我无法使其工作。有什么建议么？

Answer 1

也许您可以提供更多积分的详细信息，例如缺少的括号在[AR-x)dt]哪里？是否有任何依赖x，t或者我们可以整合dR/dt = axR - bR给予R=C*exp((a*x-b)*t)？fminbnd在任何情况下，要在and上回答您的问题quad，您可以设置A,C,T,a,b,xminand xmax（最后两个是您要查找最小值的范围）并使用：

 [x fval] = fminbnd(@(x) quad(@(t)A*C*exp((a*x-b)*t)-x,0,T),xmin,xmax)

这发现x使积分最小化。

Answer 2

如果我没有弄错，您正在尝试尽量减少对 t 的尊重：

\int_0^t{(AR-x) dt}

那么你只需要找到零点：

AR-x

这只是数学，不是 matlab ;)

Answer 3

这是对您的方程式的一些操作，可能会有所帮助。

结合你给出的第二个和第三个方程

dR/dt = -a*(dY/dt)-bR

现在，如果我们在右手边求解 R 并将其代入您给出的第一个方程，我们得到

L = Int(t=0,t=T)[(-A/b*(dR/dt + a*dY/dt) - x)dt]

现在我们可以整合第一项得到：

L = -A/b*[R(T) - R(0) + Y(T) - Y(0)] - Int(t=0,t=T)[(x)dt]

所以现在关于 R 和 Y 的所有事情都是端点。事实上，你也可以定义一个新函数 Z 等于 Y + R。然后你得到

L = -A/b*[Z(T) - Z(0)] - Int(t=0,t=T)[(x)dt]

下一部分我没有那么自信。x 对 t 的积分将给出一些在 t = 0 和 t = T 时评估的函数。这个函数我们将调用 X 来给出：

L = -A/b*[Z(T) - Z(0)] - X(T) + X(0)

这个等式适用于所有 T，所以如果我们愿意，我们可以将 T 设置为 t。

L = -A/b*[Z(t) - Z(0)] - X(t) + X(0)

此外，我们可以将许多常量组合在一起并称它们为 C 来给出

X(t) = -A/b*Z(t) + C

在哪里

C = A/b*Z(0) + X(0) - L

所以我不确定这还能做什么，但我已经证明 x(t) 的积分与 Z(t) = R(t) + Y(t) 线性相关。在我看来，有很多方程可以解决这个问题。其他人看到从这里去哪里？我的数学有问题吗？