如何用 R 求解非平方线性系统：A X = B？
（在系统没有解或有无穷多个解的情况下）
例子 ：
A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
如果矩阵 A 的行数多于列数，则应使用最小二乘拟合。
如果矩阵 A 的行数少于列数，则应执行奇异值分解。每个算法都尽其所能通过使用假设为您提供解决方案。
这是一个链接，显示如何使用 SVD 作为求解器：
http://www.ecse.rpi.edu/~qji/CV/svd_review.pdf
让我们将其应用于您的问题，看看它是否有效：
您的输入矩阵A和已知的 RHS 向量B：
> A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
> B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
> B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
让我们分解你的A矩阵：
> asvd = svd(A)
> asvd
$d
[1] 8.007081e+00 4.459446e+00 4.022656e-16
$u
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.1295469 -0.8061540 0.5773503
[2,] 0.7629233 0.2908861 0.5773503
[3,] 0.6333764 -0.5152679 -0.5773503
$v
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.87191556 -0.2515803 -0.1764323
[2,] -0.46022634 -0.1453716 -0.4694190
[3,] 0.04853711 0.5423235 0.6394484
[4,] -0.15999723 -0.7883272 0.5827720
> adiag = diag(1/asvd$d)
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0.00000e+00
[2,] 0.0000000 0.2242431 0.00000e+00
[3,] 0.0000000 0.0000000 2.48592e+15
这是关键：in的第三个特征值d非常小；相反，in的对角元素adiag非常大。在求解之前，将其设置为零：
> adiag[3,3] = 0
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0
[2,] 0.0000000 0.2242431 0
[3,] 0.0000000 0.0000000 0
现在让我们计算解决方案（请参阅上面我给您的链接中的幻灯片 16）：
> solution = asvd$v %*% adiag %*% t(asvd$u) %*% B
> solution
[,1]
[1,] 2.411765
[2,] -2.282353
[3,] 2.152941
[4,] -3.470588
现在我们有了一个解决方案，让我们将其替换回去，看看它是否给我们相同的结果B：
> check = A %*% solution
> check
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
那是B你开始的那一面，所以我认为我们很好。
这是来自 AMS 的另一个很好的 SVD 讨论：
目的是解决Ax = b
其中A是p by q，x是q by 1并且b是 p by 1对于x给定A和b。
方法 1：广义逆：Moore-Penrose https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse
等式两边相乘，我们得到
A'Ax = A' b
其中A'是 A 的转置。请注意，A'A现在是q by q矩阵。现在解决这个问题的一种方法是将等式两边乘以A'A的倒数。这使，
x = (A'A)^{-1} A' b
这就是广义逆背后的理论。这里G = (A'A)^{-1} A'是A的伪逆。
library(MASS)
ginv(A) %*% B
# [,1]
#[1,] 2.411765
#[2,] -2.282353
#[3,] 2.152941
#[4,] -3.470588
方法 2：使用 SVD 的广义逆。
@duffymo 使用 SVD 获得 A 的伪逆。
但是， 的最后一个元素svd(A)$d可能不像本例中那么小。因此，可能不应该按原样使用该方法。这是一个示例，其中A的最后一个元素都不接近于零。
A <- as.matrix(iris[11:13, -5])
A
# Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
# 11 5.4 3.7 1.5 0.2
# 12 4.8 3.4 1.6 0.2
# 13 4.8 3.0 1.4 0.1
svd(A)$d
# [1] 10.7820526 0.2630862 0.1677126
一种选择是将其视为奇异值cor(A)
svd(cor(A))$d
# [1] 2.904194e+00 1.095806e+00 1.876146e-16 1.155796e-17
现在，很明显只存在两个大的奇异值。因此，现在可以在 A 上应用 svd 以获得伪逆，如下所示。
svda <- svd(A)
G = svda$v[, 1:2] %*% diag(1/svda$d[1:2]) %*% t(svda$u[, 1:2])
# to get x
G %*% B