algorithm - 求解具有 n 个变量的线性 n 方程的算法

Question

我在编写一种算法时陷入了一步。请帮我解决这个问题。

我需要求解线性方程。请看下图。

我使用图像是因为我不知道如何编写矩阵。

请建议我计算所有变量值的算法。寻找您的善意回应。

Answer 1

如果您的矩阵总是与问题中给出的相同形式（即所有矩阵，除了沿对角线的 -1），那么您可以在 O(n) 时间内求解它，其中 n 是方程的数量。

令 N 为方程的数量。

然后解决方案由下式给出：

t = (a+b+c)/(N-2)
x = (t-a)*0.5
y = (t-b)*0.5
z = (t-c)*0.5

Python代码：

# Set up equations
a=4
b=5
c=6
A = a,b,c

# Compute inverse
t = sum(A)/(len(A)-2.)
B = [(t-x)*0.5 for x in A]

# Check
x,y,z = B
print -x+y+z
print x-y+z
print x+y-z

我通过以下公式得出这个公式：

1. 将所有方程加在一起得到 (N-2)(x+y+z)=(a+b+c) 其中 N 是方程的数量
2. 例如，将每个方程写成 -x+y+z = x+y+z - 2x = (a+b+c)/(N-2) - 2x = a
3. 求解该方程以获得 x 的值

Answer 2

查看您的示例，您看起来好像正在尝试将所有 1 的 n 矩阵反转，除了在对角线上您有-1。我们称这个矩阵为 D_n。

鉴于这种对称性，逆将是相似的：所有 a，除了在对角线上，你将有 b（要找到 a 和 b）。

将 D_n 与逆相乘给出了两个需要满足的方程（对应于对角线上和对角线外的乘积项）。

-b + (n-1) * a = 1
b + (n-3) * a = 0

求解给了我们：

a = 1/(2n - 4)
b = (3-n)/(2n - 4)

例如，当 n=3 时，您有 a=1/2，b=0，因此逆向 inv(D_3) 为

0   0.5 0.5
0.5 0   0.5
0.5 0.5 0

或者当 n=4 时，你有 a=1/4，b=-1/4，所以倒数 inv(D_4) 是

-0.2500    0.2500    0.2500    0.2500
 0.2500   -0.2500    0.2500    0.2500
 0.2500    0.2500   -0.2500    0.2500
 0.2500    0.2500    0.2500   -0.2500

现在，您正试图找到 x_1, x_2, ..., x_n（称为此向量 x），使得 D_n * x = (a_1, a_2, ..., a_n)。

鉴于我们已经弄清楚如何计算 inv(D_n)，解决方案是：

x_j = (3 - n)a_j / (2n - 4) + sum(i=1..n, i != j) (a_n / (2n - 4))