c++ - 方程“a + bx = c + dy”的积分解

Question

在方程a + bx = c + dy中，所有变量都是整数。a, b,c和d是已知的。如何找到x和的积分解y？b如果我的想法是正确的，将会有无限数量的解决方案，由and的最小公倍数分隔d，但我只需要一个解决方案，我可以计算其余的解决方案。这是一个例子：

a = 2
b = 3
c = 4
d = 5
a + bx: (2, 5,  8, 11, 14)
c + dy: (4, 9, 14, 19, 24)

a + bx intersects c + dy at 14, so:
x = 4
y = 2

现在，我正在遍历整数值，x直到找到y（伪代码）的整数值：

function integral_solution(int a, int b, int c, int d) {
    // a + bx == c + dy
    // (a + bx - c) / d == y

    // Some parameters may have no integral solution,
    // for example if b == d and (a - c) % b != 0
    // If we don't have a solution before x == d, there is none.

    int x = 0;
    while (x < d)
    {
        if ((a + bx - c) % d == 0)
        {
            return [x, (a + bx - c) / d];
        }
        x++;
    }
    return false;
}

我觉得有更好的方法来做到这一点。有没有办法在没有循环的情况下找到 x 和 y？我正在使用 C++，如果这很重要的话。

Answer 1

线性丢番图方程采用ax + by = c. If是and这意味着c的最大公约数，那么这就是Bézout 的恒等式aba=z'cb=z''c

与a=z'和b=z''方程有无数个解。因此，您可以检查是否c是和的最大公约数（GCD）a而b不是试用搜索方法（在您的情况下，这转换为bx - dy = c - a）

如果 确实a和b是cthen的倍数x并且y可以使用扩展欧几里得算法来计算，该算法找到满足 Bézout 恒等式的整数x和y（其中一个通常为负数）

你的答案是：

a = k*x, b = k*y, c - a = k * gcd(a,b)对于任何整数k。

（附带说明：这也适用于任何其他欧几里得域，即多项式环和每个欧几里得域都是唯一的因式分解域）。您可以使用迭代方法找到这些解决方案：

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迭代法

通过对同类项进行扩展和分组的常规代数（参考前面提到的维基百科文章的最后一节），得到以下迭代方法的算法：

• 1. 应用欧几里得算法，令 qn (n 从 1 开始) 是除法中商的有限列表。
• 2. 将 x0, x1 初始化为 1, 0，将 y0, y1 分别初始化为 0,1。
  • 2.1 那么对于每个 i 只要定义了 qi，
  • 2.2 计算 xi+1 = xi−1 − qixi
  • 2.3 计算 yi+1 = yi−1 − qiyi
  • 2.4 将 i 加 1 后重复上述操作。
• 3. 答案是 xn 和 yn 的倒数第二个。

伪代码：

function extended_gcd(a, b)
    x := 0    lastx := 1
    y := 1    lasty := 0
    while b ≠ 0
        quotient := a div b
        (a, b) := (b, a mod b)
        (x, lastx) := (lastx - quotient*x, x)
        (y, lasty) := (lasty - quotient*y, y)       
    return (lastx, lasty)

因此，我编写了示例算法，该算法使用欧几里德算法迭代方法计算最大公约数，并且（对于负数 -需要这些额外步骤），它返回 GCD 并存储通过引用传递给它的变量的解决方案：abxy

int gcd_iterative(int a, int b, int& x, int& y) {
    int c;
    std::vector<int> r, q, x_coeff, y_coeff;
    x_coeff.push_back(1); y_coeff.push_back(0);
    x_coeff.push_back(0); y_coeff.push_back(1);

    if ( b == 0 ) return a;
    while ( b != 0 ) {
            c = b;
            q.push_back(a/b);
            r.push_back(b = a % b);
            a = c;
            x_coeff.push_back( *(x_coeff.end()-2) -(q.back())*x_coeff.back());
            y_coeff.push_back( *(y_coeff.end()-2) -(q.back())*y_coeff.back());
    }
    if(r.size()==1) {
        x = x_coeff.back();
        y = y_coeff.back();
    } else {
        x = *(x_coeff.end()-2);
        y = *(y_coeff.end()-2);
    }
    std::vector<int>::iterator it;
    std::cout << "r: ";
    for(it = r.begin(); it != r.end(); it++) { std::cout << *it << "," ; }
    std::cout << "\nq: ";
    for(it = q.begin(); it != q.end(); it++) { std::cout << *it << "," ; }
    std::cout << "\nx: ";
    for(it = x_coeff.begin(); it != x_coeff.end(); it++){ std::cout << *it<<",";}
    std::cout << "\ny: ";
    for(it = y_coeff.begin(); it != y_coeff.end(); it++){ std::cout << *it<<",";}
    return a;
} 

通过将来自维基百科的示例传递给它a = 120，b = 23我们获得：

int main(int argc, char** argv) {   
    // 120x + 23y = gcd(120,23)
    int x_solution, y_solution;
    int greatestCommonDivisor =  gcd_iterative(120, 23, x_solution, y_solution);
    return 0;
}

r: 5,3,2,1,0,

q: 5,4,1,1,2,

x: 1,0,1,-4,5,-9,23,

y: 0,1,-5,21,-26,47,-120,

本示例的给定表格是什么：