geometry - 贝塞尔曲线从一个轴计算点

Question

我有一个三次贝塞尔曲线。但是当我只需要一点时，我就有问题了。我只有 X 轴的值，并且想找到一个与 Y 轴对应的值。或者找到 t 步，从中我可以轻松计算 Y 轴。

任何线索如何做到这一点？或者有什么公式可以做到这一点？

Answer 1

如果曲线不是X monotone ，任何解决方案都必须处理可能存在多个解决方案的事实。考虑三次贝塞尔曲线 (0,0),(2,0),(-1,1),(1,1)：

如您所见，有 4 个参数值（和 Y 坐标）在 X==1/2 处。

这意味着如果您使用细分（这可能是您最简单的解决方案），那么您需要注意您的初始边界 t 值仅围绕您想要的点。

您还可以猜测这对代数解的阶数意味着什么。

Answer 2

通过为这些维度添加系数，参数曲线可以扩展到任何维度。你确定你把事情搞清楚了吗？似乎您正在使用 x 轴作为曲线参数t。t参数通过两个三次方程控制 X 和 Y 坐标的计算。看看Wikipedia，它为 2D 案例提供了一些非常简洁的解释。

编辑：

求解为一般三次多项式。但请注意，它可能有 3 个解决方案。