python - Hypar（双曲抛物面）的表面积

Question

我已经发布了关于这个主题的这个问题： 加速双曲抛物面算法的最近点

给定四个点 (p0,p1,p2,p3) 来定义双重规则双曲抛物面，使用 python 的 numpy 模块计算其表面积的最佳（最快）方法是什么？

Answer 1

这比编程更多的是数学，所以你可能想和math.stackexchange. 但是，根据您之前问题的答案，可以将曲面参数化为：

s = p0 + u * (p1 - p0) + v * (p3 - p0) + u * v * (p2 - p3 - p1 + p0) =
    p0 + u * a + v * b + u * v * c

由你的四个点限制的区域是0 <= u <= 1和0 <= v <= 1。

您可以通过微分得到两个与曲面相切的向量：

t1 = ds/du = a + v * c
t2 = ds/dv = b + u * c

你可以得到一个向量，垂直于其他两个，范数等于它们所描述的平行四边形的面积，取它们的叉积：

A = t1 x t2 = a x b + u * a x c + v * c x b

简单地继续积分 A 很诱人，但您想要积分的是它的规范，而不是向量本身。我已经尝试将它提供给 Mathematica，看看它是否会提出一些不错的封闭形式的解决方案，但它已经持续了几分钟，但没有到达任何地方。所以你也可以用数字来做事情：

def integrate_hypar(p0, p1, p2, p3, n=100):
    a = p1 - p0
    b = p3 - p0
    c = p2 - p3 - p1 + p0
    delta = 1 / n
    u = np.linspace(0,1, num=n, endpoint=False) + delta / 2
    axb = np.cross(a, b)
    axc = np.cross(a, c)
    cxb = np.cross(c, b)
    diff_areas = (axb + u[:, None, None] * axc +
                  u[:, None] * cxb) * delta * delta
    diff_areas *= diff_areas
    diff_areas = np.sum(diff_areas, axis=-1)
    diff_areas = np.sqrt(diff_areas)
    return np.sum(diff_areas)

使用您其他问题的数据点，我得到：

p0 = np.array([1.15, 0.62, -1.01])
p1 = np.array([1.74, 0.86, -0.88])
p2 = np.array([1.79, 0.40, -1.46])
p3 = np.array([0.91, 0.79, -1.84])

>>> integrate_hypar(p0, p1, p2, p3)
0.54825122958719719