math - 计算贝塞尔样条曲线以从点到点

Question

我在 X,Y + Rotation 中有 2 个点，我需要计算一个贝塞尔样条曲线（二次贝塞尔曲线的集合），它可以平滑地连接这两个点。（见图）该点代表游戏中只能缓慢旋转的单位。所以从A点到B点，必须走很长的路。附图显示了一条相当夸张的弯曲路径，但你明白了。

我可以使用哪些公式来计算这样的贝塞尔样条曲线？

Answer 1

刚刚看到我误解了你的问题。由于您有起点和终点以及两个方向（切线），您不能使用单个三次 Hermite 样条曲线吗？是否有任何额外的限制？

要计算起点和终点切线，只需使用起点和终点方向，并根据起点和终点之间的距离对其进行缩放（以及其他一些常数因子，例如 0.5，具体取决于您希望路径的弯曲程度）。：

p0 = startpoint;
p1 = endpoint;
float scale = distance(p0, p1);
m0 = Vec2(cos(startangle), sin(startangle)) * scale;
m1 = Vec2(cos(endangle), sin(endangle)) * scale;

我使用这个系统在我正在开发的游戏中插入相机路径，效果很好。

Answer 2

您可能知道，即使我们假设有 2 个控制点，也有无限的解决方案。

我找到了Smoothing Algorithm Using Bézier Curves，它回答了您的问题（请参阅开头的方程式）Bx(t)：By(t)

B _x (t) = (1-t) ³  P _1x + 3 (1-t) ²  t P _2x + 3 (1-t) t ²  P _3x + t ³  P _4x

B _y (t) = (1-t) ³  P _1y + 3 (1-t) ²  t P _2y + 3 (1-t) t ²  P _3y + t ³  P _4y

P ₁和 P ₄是您的端点，P ₂和 P ₃是控制点，您可以沿着所需的角度自由选择。如果您的控制点r与点 的角度为 θ (x, y)，则该点的坐标为：

x' = x - r sin(θ)

y' = y - r cos(θ)

（根据你使用的坐标系统——我想我的标志是对的）。唯一的自由参数是r，您可以随意选择。您可能想使用

r = α dist(P ₁ , P ₄ )

α < 1。

Answer 3

我不记得我在哪里得到它，但我一直在使用它：

Vector2 CalculateBezierPoint(float t, Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3)
{
      float u = 1 - t; 
      float tt = t*t;
      float uu = u*u;
      float uuu = uu * u;
      float ttt = tt * t;

      Vector2 p = uuu * p0; //first term
      p += 3 * uu * t * p1; //second term
      p += 3 * u * tt * p2; //third term
      p += ttt * p3; //fourth term

      return p;
}

其中t是起点和终点之间沿路径的比率。