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我有一个宽 x 高的矩形。

在该矩形内是另一个旋转 ϴ 度的矩形，该矩形始终在 -45 到 45 度之间，并且与外部矩形共享相同的中心。我需要找到 w 和 h 以使内部矩形的面积最大化。

这是一个（贫民窟）图像来说明一点。不过，我认为矩形的角可能应该是接触的？

贫民窟形象

这是我要编写的函数的原型：

SizeD GetMaxRectangleSize(double outerWidth, double outerHeight, float angle)

SizeD 只是一个具有双精度宽和高的结构。

感谢评论让我朝着正确的方向前进！

我的解决方案虽然在数学上可能不是最优的，但假设如果内部矩形的所有四个角都落在外部矩形上，那么面积将被最大化。

所以：

H = wSin(ϴ) + hCos(ϴ)

W = wCos(ϴ) + hSin(ϴ)

求解 w 和 h 并代入得出：

h = (HCos(ϴ) - WSin(ϴ))/(cos(ϴ)^2 - sin(ϴ)^2)

w = (WCos(ϴ) - HSin(ϴ))/(cos(ϴ)^2 - sin(ϴ)^2)

这恰好适用于 ϴ = [0,45)，并且 (-45,0] 的行为应该相同。

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这个问题的棘手部分不是如何计算内部矩形的面积，而是所有可能的内部矩形中哪个具有最大面积？

首先，观察图像中的框是相同的区域，不管它是如何水平滑动的，如果它滑动到最右边的墙上，它允许对问题进行简单的参数化，如下所示：

我发现考虑这个问题更容易一些，固定框旋转偏移角度，使内部框以标准方向排列。这是一个数字（我已经更改theta为beta只是因为我可以在 Mac 上轻松输入它，并且出于清楚的原因也离开了最左边的墙）：

在此处输入图像描述

所以考虑如下构造：在外部矩形的右侧选择一个点（这里用一个小圆圈显示），注意a从这个点到角的距离，并在这个点上构造一个最大可能的内部有一个角（通过将垂直和水平线延伸到外部矩形）。显然，最大可能的矩形是从 的不同值导出的矩形之一a，并且a是解决这个问题的一个很好的参数。

因此，鉴于此，内部矩形的面积为：

A = (a * (H-a))/(cosß * sinß)

or, A = c * a * (H-a)

我将常量三角项折叠到常量中c。我们需要最大化这一点，并且要做到这一点，导数是有用的：

dA/da = c * (H - 2a)

即从a=0（即图中的圆在外部矩形的下角，产生一个高大超皮肤的内部矩形）开始，然后内部矩形的面积单调递增直到a=H/2，然后面积开始再次减少。

也就是说，有两种情况：

1）如果a从0H/2增加到衍生品的价值）。这是您对解决方案的猜测。

2) 如果远角从不接触墙壁，则最大的内部矩形将位于a=H/2。

我没有在这里明确解决每种情况下内部矩形的面积，因为这比证明要容易得多，而且我认为任何可以遵循证明的人都可以轻松计算面积（而且确实需要很长时间是时候写这些东西了）。

于 2013-08-28T18:51:06.990 回答