3

在 Matlab 中求解方程最耗时的方法是什么：

exp(ax)-ax+c=0

哪里a和c是常量，x是我想要找到的值？目前我正在使用内置的求解器功能，并且我知道该解决方案是单值的，但它花费的时间比我想要的要长。

4

2 回答 2

3

仅仅想让某些东西运行得更快是不够的。

而且，对不起，但如果 fzero 不够快，那么对于一般的根查找工具，您将不会做得更好。

如果您不使用 fzero，那为什么不呢？毕竟，那是您没有命名的内置求解器。（要明确！否则我们必须猜测。）也许您正在使用符号工具箱中的求解。它会更慢，因为它是一个象征性的工具。

如上所述，我可能会指出，您可以通过认识到这确实是单个参数 c 的问题来改进。也就是将问题转化为解决

exp(y) - y + c = 0

在哪里

y = ax

知道 y 的值后，除以 a 即可得到 x。

当然，这种看待问题的方式很明显表明您做了错误的陈述，即解决方案是单值的。对于小于 -1 的 c 的任何负值，有两种解决方案。当 c = -1 时，解是唯一的，当 c 大于 -1 时，实数中不存在解。（如果你允许复杂的结果，那么那里也会有解决方案。）

因此，如果您必须经常解决上述问题并且 fzero 不够，那么我会考虑一个样条模型，在该模型中，我已经为足够数量的不同 c 值预先计算了该问题的解决方案。插值该样条模型以获得任何 c 的预测值 y。

如果我需要更高的准确性，我可能会从那时起迈出牛顿一步。

如果您可以使用 Lambert W 函数，那么 solve 实际上确实为我们提供了一般问题的解决方案。（如您所见，我只是在猜测您要尝试解决什么问题，以及您的目标是什么。明确的问题可以帮助试图帮助您的人。）

solve('exp(y) - y + c')
ans =
c - lambertw(0, -exp(c))

Lambertw 的第一个参数为零产生负解。事实上，对于任何不大于 -1 的 c，我们可以使用 lambertw 来给出正解和负实解。

X = @(c) c - lambertw([0 -1],-exp(c));
X(-1.1)
ans =
     -0.48318      0.41622

X(-2)
ans =
      -1.8414       1.1462
于 2013-08-16T03:37:32.190 回答
1

象征性地解决你的系统

syms a c x;
fx0 = solve(exp(a*x)-a*x+c==0,x)

这导致

fx0 =

   (c - lambertw(0, -exp(c)))/a

正如@woodchips 所指出的，Lambert W函数有两个主要分支，W 0和W -1。给出的解是关于上（或主）分支的，表示为W 0 ，您的方程实际上有W k的无限复数解（如果在 [−∞ 中，W 0和W -1解是实数， c0]）。在 Matlab 中，lambertw仅针对符号输入实现，因此如果您对数值（双精度）解决方案感兴趣，那么求解方程的方法非常缓慢。

如果您希望以有效的方式对此类方程进行数值求解，您可以查看Corless 等人。1996 年。但是，只要你的参数c在 [−∞, 0]，即-exp(c)在 [−1/e, 0] 并且你对W 0分支感兴趣，你就可以使用我写的 Matlab 代码来回答一个Math.StackExchange 上的类似问题。与使用fzero.

如果您的值c不在 [−∞, 0] 中，或者您想要对应于不同分支的解决方案，那么您的解决方案可能是复值，您将无法使用我上面链接到的简单代码。在这种情况下，您可以通过阅读Corless 等人更充分地实现该功能。1996 年的论文，或者您可以尝试将 Lambert W转换为Wright ω 函数：W 0 ( z ) = ω(log( z )), W −1 ( z ) = ω(log( z )−2π i )。在您的情况下，使用 Matlab 的wrightOmegaW 0分支对应于：

fx0 =

   (c - wrightOmega(log(-exp(c))))/a

和W -1分支到：

fxm1 =

   (c - wrightOmega(log(-exp(c))-2*sym(pi)*1i))/a

如果c是真实的，那么上面的简化为

fx0 =

   (c - wrightOmega(c+sym(pi)*1i))/a

和

fxm1 =

   (c - wrightOmega(c-sym(pi)*1i))/a

Matlab 的wrightOmega函数也只是象征性的，但我编写了一个双精度实现（基于Lawrence, et al. 2012），您可以在我的 GitHub 上找到它，这比象征性地评估函数快 3 个数量级以上。由于您的问题在技术上是 Lambert W，因此为感兴趣的区域实现更复杂的函数可能更有效，并且可能在数值上更准确（这是由于对数转换和复杂的额外评估log）。但请随意测试。

于 2013-08-16T14:40:52.597 回答