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首先，这不是重复的。所有其他看似相关的问题都要求表示2 个向量方向之间旋转的四元数，即解决方案不考虑这 2 个向量的范数。

这就是我想要的。想象一下，我有非单位向量a = (0, 0, 2)和b = (3, 1, 2). 遵循最初的汉密尔顿对四元数的定义q = a / b（这个定义是象征性的，因为你当然不能划分向量）。有关此概念，请参阅Wikipedia。由此我可以推断（也许这很天真）我能以某种方式找到这样q的q * b = a.

换句话说，给定a，b我想找到一个四元数q，乘以它b会给我a。请注意，我对简单的旋转（单一）四元数不感兴趣，它只会旋转b到a. 实际上，除了旋转之外，我还希望将 norm ofb缩放到 norm of a。

是的，我知道我可以分两个阶段完成：b使用标准的酉四元数方法旋转，然后手动将旋转缩放b到范数，a这当然会涉及额外的平方根（这是我在这里试图避免的）。事实上，我想要这两个操作的计算高效组合，我觉得这是可以实现的，但信息并不广泛，因为它似乎不是传统的用例。

也许我错了。请分享你的经验。谢谢你。

为什么不是math.stackexchange.com？

因为我对彻底的数学推导或解释不感兴趣。我关心的是构造这种四元数的计算效率高的算法。不过，如果答案中包含这些细节，我真的很感激，也许其他人将来也会偶然发现同样的问题。

对于接近的选民：

继续并关闭查找代表从一个向量到另一个向量的旋转的四元数。

此外，我已经正确标记了我的问题。我的问题属于 StackOverflow 中这些人口众多的标签。结果，您关闭的原因没有任何意义。

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Daniel Fischer 的评论答案是正确的。事实证明，构造这样的四元数有无数种方法。问题归结为具有三个方程和四个变量的线性系统。它的约束不足（如果我们假设我们将丢弃结果的 [w] 部分）。

也许我可以澄清费舍尔的回答。

当您将两个向量视为四元数并将它们相乘时，您在 [x,y,z] 部分得到它们的叉积，在 [w] 部分得到它们的否定点积：

    | 0| | 0| |-ax*bx-ay*by-az*bz|
a*b=|ax|*|bx|=|    ay*bz-az*by   |
    |ay| |by| |    az*bx-ax*bz   |
    |az| |bz| |    ax*by-ay*bx   |

当你将一个全四元数与一个向量左乘时，你会得到相同的结果，但 [w] 部分会缩放向量并将其添加回叉积：

    |qw| | 0| |-qx*bx-qy*by-qz*bz|
q*b=|qx|*|bx|=| qy*bz-qz*by+qw*bx|
    |qy| |by| | qz*bx-qx*bz+qw*by|
    |qz| |bz| | qx*by-qy*bx+qw*bz|

回顾

a x b = |a||b|sin(Θ)n

其中n是与a和正交的单位向量b。和

a . b = |a||b|cos(Θ)

向量的四元数共轭就是它的否定。

因此，如果我们看一下 Fischer 方程：

a = q*b = |b|^{-2} * a * b' * b

我们可以看到

a*b' = | -dotP(a,-b)| 
       |crossP(a,-b)|

所以

a*b'*b = |        -dotP(crossP(a,-b),b)         |
         | crossP(crossP(a,-b),b) - dotP(a,-b)b |

此四元数的顶部 ([w]) 部分必须为零，因为它是两个正交向量之间的点积。底部是 的缩放版本a：嵌套叉积产生一个与 和 正交的向量，b并且n是 的长度|a|*|b|*|b|。点积部分添加到 上的投影a（b按 的平方长度缩放b）。这使它与a. 一旦我们除掉 的平方长度b，剩下的就是a。

现在，这是否真的有用的问题是不同的。find 并不是很有用a，因为您需要从一开始就拥有它。此外，很有可能q*c不会做你希望的事情，但你必须告诉我们那是什么。

于 2013-07-18T03:26:26.423 回答