模拟 flexagon 的最佳方法是什么？
我对起点的最佳猜测是表示面和边缘，并根据边缘相遇的位置模拟变换。我在想，在实现转换的过程中，当在给定方向上折叠在物理上是不可能的时，这将是显而易见的。
我将尝试通过实验来解决这个问题，但这绝对感觉像是我的数学能力差距阻碍了我的问题。
编辑：澄清一下，我对可以使用哪种数据结构来表示 flexagon 以及如何操纵这些数据结构来模拟 flexagon 的折叠感兴趣。
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如果将 flexagon 的所有不变量写为方程组，则合法状态周围的小偏差可以写为线性系统。例如，一张纸的硬度介于(x1,y1)和(x2,y2)之间
(x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2 - L**2 == 0
这可以软化为
chi2 = (x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2 - L**2 + other constraints...
chi2关于x1, x2,y1的导数y2产生线性方程。线性方程组是一个矩阵，该矩阵的特征值/特征向量分解为您提供易于或难以弯曲的参数的x1线性x2组合。特征向量是一组可能的方向，每个对应的特征值告诉你在那个方向弯曲有多难。较大的特征值受到更多约束。y1y2
上面的一个问题是，如果真的有任何方向是允许的，即chi2关于的导数p为0（绝对满足原约束），那么矩阵是奇异的，不能求逆得到本征系统。如果您只想知道那些绝对允许的方向是什么，您可以计算矩阵的零空间而不是其特征系统。但是，我怀疑（从未玩过 flexagon）“允许”的方向涉及一点弯曲，在这种情况下chi2很小但非零。然后你会寻找小但非零的特征值。其他自由度是允许的且无意义的，例如整个对象的平移或旋转。要将其转换为纯特征系统问题（根本没有零空间），请使用任意小的常数 lambda 向系统添加约束：
chi2 += lambda_x * (x1 + x2)**2/4.0 + lambda_y * (y1 + y2)**2/4.0
你会在你的解决方案中认出它们，因为它们会随着你改变每个 lambda 而变化。（上面的例子给出了lambda_x在 xlambda_y中翻译和在 y 中翻译的惩罚。）
在实现方面，您可以使用任何线性代数软件来计算解决方案并检查 lambdas 的变化。我使用 Python 对这样的问题进行了原型设计（高能物理学中的探测器对齐，其中约束是测量值，例如“这个探测器距离那个探测器 3 厘米”和chi2源自不确定性“3 cm +- 0.1 cm”），然后将解决方案移植到 C++ (BLAS) 进行生产。Python 的 Numpy 库有足够的线性代数（它的底层是 BLAS），尽管我还在 Scipy 中使用了通用的非线性最小化器来调试矩阵解决方案。最难的部分是让索引正确排列，这在将其转换为矩阵时是必要的，而不是在将目标函数提供给通用最小化器时（因为您使用变量名）。这更像是一个 Matlab 或 Mathematica 问题，所以如果您对其中一个更满意，请改用它。这个问题需要大量的试验和错误，所以尽可能使用交互性最强的系统（具有良好 REPL 或工作表/笔记本式界面的系统）。
绘制连接图（图论图，而不是绘图）也很有帮助，在其上标记它们的约束。对我来说，这是写出方程式之前必要的第一步。
它还可能有助于通过编写一组函数来可视化系统，这些函数采用参数值（x1等）并使用 OpenGL（或其他 3-D 网格渲染器）绘制图形。这可以告诉您是否违反了某些约束，因为网格瓷砖会相互通过。它还可以帮助您识别每个特征向量表示的自由度：通过特征向量表示的线性组合改变参数，您将看到它是否只是平移/旋转，或者它是否正在做一些有趣的扭曲或折叠。
于 2013-07-14T19:37:27.690 回答