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我想验证一个点是否是由点 p0、p1 和 p2 定义的二次贝塞尔曲线的一部分。

这是我在具有特定 t 的曲线中获得一个点的函数：

public static final Point quadratic (Point p0, Point p1, Point p2, double t) {
    double x = Math.pow(1-t, 2) * p0.x + 2 * (1-t) * t * p1.x + Math.pow(t, 2) * p2.x;
    double y = Math.pow(1-t, 2) * p0.y + 2 * (1-t) * t * p1.y + Math.pow(t, 2) * p2.y;

    return new Point((int)x, (int)y);
}

考虑到二次曲线中的点B(t)得到如下：

B(t) = (1 - t)^2 * p0 + 2 * t * (1 - t) * p1 + t^2 * p2

我应该通过获取该点的 t 值并将其与使用该 t 参数获得的 Point 进行比较来验证点 P 是否属于曲线，但是在 Java 中我遇到了变量精度的问题。

我验证一点的功能如下：

public static final boolean belongsQuadratic (Point p, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double[] tx = obtainTs(p.x, p0, p1, p2);
    double[] ty = obtainTs(p.y, p0, p1, p2);

    if (tx[0] >= 0) {
        if ((tx[0] >= ty[0] - ERROR && tx[0] <= ty[0] + ERROR) || (tx[0] >= ty[1] - ERROR && tx[0] <= ty[1] + ERROR)) {
            return true;
        }
    }

    if (tx[1] >= 0) {
        if ((tx[1] >= ty[0] - ERROR && tx[1] <= ty[0] + ERROR) || (tx[1] >= ty[1] - ERROR && tx[1] <= ty[1] + ERROR)) {
            return true;
        }
}


    return false;
}

public static double[] obtainTs (int comp, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double a = p0.x - 2*p1.x + p2.x;
    double b = 2*p1.x - 2*p0.x ;
    double c = p0.x - comp;

    double t1 = (-b + Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);
    double t2 = (-b - Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);

    return new double[] {t1, t2};
}

因此，如果我使用以下值运行代码：

Point p0 = new Point(320, 480);
Point p1 = new Point(320, 240);
Point p2 = new Point(0, 240);
double t = 0.10f;
Point p = Bezier.quadratic(p0, p1, p2, t);
double[] ts = Bezier.obtainTs(p.x, p0, p1, p2);

我得到以下输出：

For t=0.10000000149011612, java.awt.Point[x=316,y=434]
For t1: -0.1118033988749895, java.awt.Point[x=316,y=536]
For t2: 0.1118033988749895, java.awt.Point[x=316,y=429]
java.awt.Point[x=316,y=434] belongs?: false

我应该使用BigDecimal来执行操作吗？有没有另一种方法来验证这一点？谢谢

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作为替代答案，为了规避 Martin R 指出的问题，您可以简单地构建一个查找表并以这种方式将坐标解析为曲线上。构建曲线时，为增量t值生成 N 点坐标数组，然后当您需要测试坐标是否位于曲线上时，通过检查该坐标是否在该坐标中找到最接近该坐标的t值查找表，或“足够接近”查找表中的坐标。在代码中：

point[] points = new point[100];
for(i=0; i<100; i++) {
  t = i/100;
  points[i] = new point(computeX(t), computeY(t));
}

然后当您需要进行曲线测试时：

for(i=0; i<points.length; i++) {
  point = points[i];
  if(abs(point-coordinate)<3) {
    // close enough to the curve to count,
    // so we can use t value map(i,0,100,0,1)
  }
}

构建 LUT 几乎不需要任何成本，因为我们已经生成了这些坐标值以绘制曲线，并且您不会在没有首先确保坐标在曲线中的情况下运行曲线测试边界框。

于 2013-06-17T17:10:22.137 回答
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这里有一个错误：

double[] ty = obtainTs(p.y, p0, p1, p2);

因为obtainTs()使用p0、p1、p2的x坐标来找到 p 的y坐标的 t 参数。

如果将方法参数更改为int（可以是点的 x 或 y 坐标）：

public static double[] obtainTs (int comp, int p0, int p1, int p2) {
    double a = p0 - 2*p1 + p2;
    double b = 2*p1 - 2*p0 ;
    double c = p0 - comp;

    double t1 = (-b + Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);
    double t2 = (-b - Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);

    return new double[] {t1, t2};
}

并称之为

double[] tx = obtainTs(p.x, p0.x, p1.x, p2.x);
double[] ty = obtainTs(p.y, p0.y, p1.y, p2.y);

那么您的测试代码将返回“true”（使用 ERROR = 0.02 进行测试）。

请注意，如果您写下方程式

B(t) = (1 - t)^2 * p0 + 2 * t * (1 - t) * p1 + t^2 * p2

对于 x 和 y 坐标，您可以消除 t^2 项并获得 t 的单个线性方程。这给出了以下方法，该方法可能稍微简单一些并且不使用平方根：

public static final boolean belongsQuadratic2 (Point p, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double ax = p0.x - 2*p1.x + p2.x;
    double bx = 2*p1.x - 2*p0.x ;
    double cx = p0.x - p.x;

    double ay = p0.y - 2*p1.y + p2.y;
    double by = 2*p1.y - 2*p0.y ;
    double cy = p0.y - p.y;

    // "Candidate" for t:
    double t = -(cx*ay - cy*ax)/(bx*ay - by*ax);
    if (t < 0 || t > 1)
        return false;
    // Compute the point corresponding to this candidate value ...
    Point q = Bezier.quadratic(p0, p1, p2, t);
    // ... and check if it is near the given point p:
    return Math.abs(q.x - p.x) <= 1 && Math.abs(q.y - p.y) <= 1;
}

当然，必须检查特殊情况，例如bx*ay - by*ax == 0.

另请注意，很难准确确定一个点是否位于曲线上，因为点坐标被四舍五入为整数。

于 2013-06-15T16:04:32.423 回答