python - 在 Python 中求解数学方程的最简单方法

Question

我想求解一组方程，线性的，有时是二次的。我没有具体的问题，但我经常遇到这种情况。

使用wolframalpha.com（Mathematica 的网络等价物）来解决这些问题很简单。但这并不能提供 iPython shell 的舒适和便利。

是否有一个简单的库可以从 python shell 处理线性和二次方程？

就个人而言，我觉得使用 Casio 991 MS 科学计算器非常方便。我知道如何设置变量，解方程，并且做了很多事情。我想要一个最好在 ipython shell 中使用的工具。我很惊讶没有找到任何东西。我对圣人印象不够；也许我错过了一些东西。

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48

sympy正是您正在寻找的。

于 2009-10-29T09:19:37.277 回答

score 22 · Accepted Answer

你认为最好的答案是不可接受的。

您的问题是“我想要一个可以在 Python 中使用的免费计算机代数系统。”

答案是“SAGE 做到了”。

你看过maxima/macsyma吗？SAGE 为其提供了绑定，这是更强大的免费绑定之一。

http://maxima.sourceforge.net/

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以下是如何使用 Python（通过 Sage）解决您的原始问题。这基本上澄清了 Paul McMillan 上面的评论。

sage: a,b,c = var('a,b,c')
sage: solve([a+b+c==1000, a^2+b^2==c^2], a,b,c)
[[a == 1000*(r1 + sqrt(r1^2 + 2000*r1 - 1000000))/(r1 + sqrt(r1^2 + 2000*r1 - 1000000) + 1000), b == -1/2*r1 - 1/2*sqrt(r1^2 + 2000*r1 - 1000000) + 500, c == r1], [a == 1000*(r2 - sqrt(r2^2 + 2000*r2 - 1000000))/(r2 - sqrt(r2^2 + 2000*r2 - 1000000) + 1000), b == -1/2*r2 + 1/2*sqrt(r2^2 + 2000*r2 - 1000000) + 500, c == r2]]

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对于不精确的解决方案，请阅读线性规划和顺序二次优化，然后搜索为您执行此类优化的 Python 库。

如果方程需要整数解，您应该搜索 Python 的丢番图方程求解器。

请注意，对 Project Euler 使用简单的求解器是没有意义的。有趣和有教育意义的部分是学习如何使用原始方法自己解决它！

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APMonitor.com 是用于求解大型非线性方程组（超过 100 万）的免费网络服务。有一个浏览器界面和一个 Python / MATLAB API。Python 的 API 是一个脚本 (apm.py)，可从 apmonitor.com 主页下载。一旦脚本被加载到 Python 代码中，它就可以解决以下问题：

非线性方程
微分和代数方程
最小二乘模型拟合
移动水平估计
非线性模型预测控制
等等

对于新用户，APM Python 软件有一个 Google Groups 论坛，用户可以在其中发布问题。每两周举行一次网络研讨会，展示运筹学和工程中的优化问题。

下面是一个优化问题的示例 (hs71.apm)。

Model

  Variables

    x[1] = 1, >=1, <=5

    x[2] = 5, >=1, <=5

    x[3] = 5, >=1, <=5

    x[4] = 1, >=1, <=5

  End Variables



  Equations

    x[1] * x[2] * x[3] * x[4] > 25

    x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 + x[4]^2 = 40



    minimize  x[1] * x[4] * (x[1]+x[2]+x[3]) + x[3]

  End Equations

End Model

使用以下 Python 脚本解决了优化问题：

# Import

from apm import *

# Select server

server = 'http://xps.apmonitor.com'

# Application name

app = 'eqn'

# Clear previous application

apm(server,app,'clear all')

# Load model file

apm_load(server,app,'hs71.apm')

# Option to select solver (1=APOPT, 2=BPOPT, 3=IPOPT)

apm_option(server,app,'nlc.solver',3)

# Solve on APM server

solver_output = apm(server,app,'solve')


# Display solver output

print solver_output


# Retrieve results

results = apm_sol(server,app)

# Display results

print '--- Results of the Optimization Problem ---'

print results

# Display Results in Web Viewer 

url = apm_var(server,app)

print "Opened Web Viewer: " + url

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你看过SciPy吗？

它在解决线性代数的教程中有一个示例：

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/linalg.html#solving-linear-system

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供参考：Wolfram Alpha 的解决方案：

a-1000!=0,   b = (1000 (a-500))/(a-1000),   c = (-a^2+1000 a-500000)/(a-1000)

在 python 中，使用sympy 的求解器模块（请注意，它假设所有方程都设置为零）：

>>> import sympy
>>> a, b, c = sympy.symbols('a, b, c')
>>> sympy.solve([a + b + c - 1000, a**2 + b**2 - c**2], b, c)
[(1000*(a - 500)/(a - 1000), (-a**2 + 1000*a - 500000)/(a - 1000))]

当然，a != 1000，因为 a-1000 是两个方程的分母。

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我刚刚开始使用GNU Scientific Library，但它是 C 库。看起来也有 Python绑定。所以，它可能值得一看。

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我会为此使用Octave，但我同意，Octave 的语法并不是我所说的令人兴奋的（而且文档总是让我感到困惑，而不是他们的帮助）。

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好吧，我只是偶然在谷歌上搜索到了这个页面。我看到了很多关于这个和那个软件工具的建议，但有没有任何工具真正提供了答案？实际答案是：

[a,b,c] = [200,375,425]

我是怎么得到这个的？通过用 Maxima 编程语言编写一个快速程序，通过“蛮力”搜索找到它。只花了大约 10 分钟的时间来写，看看我对 Maxima 语言的熟悉程度。程序运行了几秒钟。这是程序：

euler_solve():= 块 ( [ a, b, A, B, end:1000],

for a thru end do
    (
    for b thru end do
        (
        c: 1000 -a -b,
        if c < 0 then
            b:end
        else if a^2 + b^2 = c^2 then
            (
            A:a,
            B:b,
            a:end,
            b:end
            )
        )
    ),
return( [A,B,c])
);

您可以将上面的代码剪切并粘贴到我在 Ubuntu 而不是 MS Windows 下运行的 wxMaxima 用户界面中。然后你只需输入函数名：euler_solve()，按回车，等待几秒钟，就会弹出答案。这种特殊类型的问题非常简单，您可以使用任何通用编程语言进行搜索。

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这取决于您的需求：

如果您想要一个交互式图形界面，那么 sage 可能是最好的解决方案。

如果您想避免使用图形界面，但仍想做计算机代数，那么 sympy 或 maxima 可能会满足您的需求。（sympy 看起来很有前途，但要取代mathematica 还有很长的路要走）。

如果您真的不需要符号代数，但需要一种使用矩阵编程、求解微分方程和最小化函数的方法，那么 scipy 或 octave 是很好的起点。

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我认为没有一种统一的方法可以同时处理线性和二次（或通常是非线性）方程。对于线性系统，python 绑定到线性代数和矩阵包。非线性问题倾向于逐案解决。

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看看这个：

http://openopt.org/FuncDesignerDoc#Solving_systems_of_nonlinear_equations

它非常易于使用且功能强大

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尝试在 py 中应用Bisection 方法来找到给定间隔的根：

def f(x, rhs): # f(x) = e^x
    return math.e ** x - rhs # e^x = rhs -> e^x - rhs = 0

def solve(rhs, a = 0, b = 100, tol = 1e-3):
    while True:
        c  = (a + b) / 2.0
        if(f(a, rhs) * f(c, rhs) > 0):
            a = c
        else:
            b = c
        if(abs(f(c, rhs)) < tol):
            break
    return c

y = math.e ** 3.75 # x = 3.75
print(solve(y)) # 3.7499..

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再三考虑，我详细介绍了 sage，显然它是最好的数学免费软件。

只是一些不同的 python 数学相关库，它集成的绝对很棒。

Sage 中包含的数学软件包：

Algebra GAP, Maxima, Singular 
Algebraic Geometry  Singular
Arbitrary    Precision
Arithmetic  GMP, MPFR, MPFI,    NTL
Arithmetic Geometry PARI, NTL,      
mwrank, ecm Calculus    Maxima, SymPy, 
GiNaC Combinatorics Symmetrica,     
Sage-Combinat Linear Algebra    Linbox,
IML Graph Theory    NetworkX Group     
Theory  GAP Numerical
computation GSL,    SciPy, NumPy,
ATLAS

Sage 中包含的其他软件包：

Command line    IPython Database    ZODB,
Python Pickles, SQLite Graphical
Interface   Sage Notebook, jsmath
Graphics    Matplotlib, Tachyon3d, GD,
Jmol Interactive 
programming language  Python 
Networking  Twisted

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