我有俯仰角、滚动角和偏航角。我如何将这些转换为方向向量?
如果你能向我展示这个的四元数和/或矩阵表示,那就太酷了!
不幸的是,关于如何定义这些东西有不同的约定(并且滚动、俯仰、偏航与欧拉角并不完全相同),所以你必须小心。
如果我们将 pitch=0 定义为水平 (z=0) 并将 yaw 定义为从 x 轴逆时针方向,那么方向向量将为
x = cos(偏航)*cos(俯仰) y = sin(yaw)*cos(pitch) z = sin(音高)
请注意,我没有使用滚动;这是方向单位向量,它不指定姿态。编写一个旋转矩阵将物体带入飞行物体的框架很容易(例如,如果您想知道左翼尖指向的位置),但首先指定约定确实是个好主意。你能告诉我们更多关于这个问题的信息吗?
编辑:( 两年半以来我一直想回到这个问题。)
对于完整的旋转矩阵,如果我们使用上面的约定并且我们希望矢量先偏航,然后俯仰,然后滚动,为了获得世界坐标系中的最终坐标,我们必须以相反的顺序应用旋转矩阵。
第一卷:
| 1 0 0 |
| 0 cos(roll) -sin(roll) |
| 0 sin(roll) cos(roll) |
然后投球:
| cos(pitch) 0 -sin(pitch) |
| 0 1 0 |
| sin(pitch) 0 cos(pitch) |
然后偏航:
| cos(yaw) -sin(yaw) 0 |
| sin(yaw) cos(yaw) 0 |
| 0 0 1 |
将它们组合起来,总的旋转矩阵为:
| cos(yaw)cos(pitch) -cos(yaw)sin(pitch)sin(roll)-sin(yaw)cos(roll) -cos(yaw)sin(pitch)cos(roll)+sin(yaw)sin(roll)|
| sin(yaw)cos(pitch) -sin(yaw)sin(pitch)sin(roll)+cos(yaw)cos(roll) -sin(yaw)sin(pitch)cos(roll)-cos(yaw)sin(roll)|
| sin(pitch) cos(pitch)sin(roll) cos(pitch)sin(roll)|
因此,对于从 x 轴开始的单位向量,最终坐标将为:
x = cos(yaw)cos(pitch)
y = sin(yaw)cos(pitch)
z = sin(pitch)
对于从 y 轴(左翼尖)开始的单位向量,最终坐标为:
x = -cos(yaw)sin(pitch)sin(roll)-sin(yaw)cos(roll)
y = -sin(yaw)sin(pitch)sin(roll)+cos(yaw)cos(roll)
z = cos(pitch)sin(roll)
根据应用的顺序,有六种不同的方法可以将三个欧拉角转换为矩阵:
typedef float Matrix[3][3];
struct EulerAngle { float X,Y,Z; };
// Euler Order enum.
enum EEulerOrder
{
ORDER_XYZ,
ORDER_YZX,
ORDER_ZXY,
ORDER_ZYX,
ORDER_YXZ,
ORDER_XZY
};
Matrix EulerAnglesToMatrix(const EulerAngle &inEulerAngle,EEulerOrder EulerOrder)
{
// Convert Euler Angles passed in a vector of Radians
// into a rotation matrix. The individual Euler Angles are
// processed in the order requested.
Matrix Mx;
const FLOAT Sx = sinf(inEulerAngle.X);
const FLOAT Sy = sinf(inEulerAngle.Y);
const FLOAT Sz = sinf(inEulerAngle.Z);
const FLOAT Cx = cosf(inEulerAngle.X);
const FLOAT Cy = cosf(inEulerAngle.Y);
const FLOAT Cz = cosf(inEulerAngle.Z);
switch(EulerOrder)
{
case ORDER_XYZ:
Mx.M[0][0]=Cy*Cz;
Mx.M[0][1]=-Cy*Sz;
Mx.M[0][2]=Sy;
Mx.M[1][0]=Cz*Sx*Sy+Cx*Sz;
Mx.M[1][1]=Cx*Cz-Sx*Sy*Sz;
Mx.M[1][2]=-Cy*Sx;
Mx.M[2][0]=-Cx*Cz*Sy+Sx*Sz;
Mx.M[2][1]=Cz*Sx+Cx*Sy*Sz;
Mx.M[2][2]=Cx*Cy;
break;
case ORDER_YZX:
Mx.M[0][0]=Cy*Cz;
Mx.M[0][1]=Sx*Sy-Cx*Cy*Sz;
Mx.M[0][2]=Cx*Sy+Cy*Sx*Sz;
Mx.M[1][0]=Sz;
Mx.M[1][1]=Cx*Cz;
Mx.M[1][2]=-Cz*Sx;
Mx.M[2][0]=-Cz*Sy;
Mx.M[2][1]=Cy*Sx+Cx*Sy*Sz;
Mx.M[2][2]=Cx*Cy-Sx*Sy*Sz;
break;
case ORDER_ZXY:
Mx.M[0][0]=Cy*Cz-Sx*Sy*Sz;
Mx.M[0][1]=-Cx*Sz;
Mx.M[0][2]=Cz*Sy+Cy*Sx*Sz;
Mx.M[1][0]=Cz*Sx*Sy+Cy*Sz;
Mx.M[1][1]=Cx*Cz;
Mx.M[1][2]=-Cy*Cz*Sx+Sy*Sz;
Mx.M[2][0]=-Cx*Sy;
Mx.M[2][1]=Sx;
Mx.M[2][2]=Cx*Cy;
break;
case ORDER_ZYX:
Mx.M[0][0]=Cy*Cz;
Mx.M[0][1]=Cz*Sx*Sy-Cx*Sz;
Mx.M[0][2]=Cx*Cz*Sy+Sx*Sz;
Mx.M[1][0]=Cy*Sz;
Mx.M[1][1]=Cx*Cz+Sx*Sy*Sz;
Mx.M[1][2]=-Cz*Sx+Cx*Sy*Sz;
Mx.M[2][0]=-Sy;
Mx.M[2][1]=Cy*Sx;
Mx.M[2][2]=Cx*Cy;
break;
case ORDER_YXZ:
Mx.M[0][0]=Cy*Cz+Sx*Sy*Sz;
Mx.M[0][1]=Cz*Sx*Sy-Cy*Sz;
Mx.M[0][2]=Cx*Sy;
Mx.M[1][0]=Cx*Sz;
Mx.M[1][1]=Cx*Cz;
Mx.M[1][2]=-Sx;
Mx.M[2][0]=-Cz*Sy+Cy*Sx*Sz;
Mx.M[2][1]=Cy*Cz*Sx+Sy*Sz;
Mx.M[2][2]=Cx*Cy;
break;
case ORDER_XZY:
Mx.M[0][0]=Cy*Cz;
Mx.M[0][1]=-Sz;
Mx.M[0][2]=Cz*Sy;
Mx.M[1][0]=Sx*Sy+Cx*Cy*Sz;
Mx.M[1][1]=Cx*Cz;
Mx.M[1][2]=-Cy*Sx+Cx*Sy*Sz;
Mx.M[2][0]=-Cx*Sy+Cy*Sx*Sz;
Mx.M[2][1]=Cz*Sx;
Mx.M[2][2]=Cx*Cy+Sx*Sy*Sz;
break;
}
return(Mx);
}
FWIW,一些 CPU 可以同时计算 Sin 和 Cos(例如 x86 上的 fsincos)。如果你这样做,你可以通过 3 次调用而不是 6 次调用来更快地计算初始 sin & cos 值。
更新:实际上有 12 种方法,具体取决于您想要右手还是左手的结果——您可以通过否定角度来改变“手性”。
Beta 拯救了我的一天。但是,我使用的参考坐标系略有不同,并且我对俯仰的定义是向上\向下(点头表示同意),其中正俯仰导致负y 分量。我的参考向量是 OpenGl 样式(沿着 -z 轴),所以当 yaw=0, pitch=0 时,得到的单位向量应该等于 (0, 0, -1)。如果有人遇到这篇文章并且在将 Beta 的公式转换为这个特定系统时遇到困难,我使用的方程式是:
vDir->X = sin(yaw);
vDir->Y = -(sin(pitch)*cos(yaw));
vDir->Z = -(cos(pitch)*cos(yaw));
注意符号变化和偏航 <-> 俯仰交换。希望这可以节省一些时间。
如果有人偶然发现在 FreeCAD 中寻找实现。
import FreeCAD, FreeCADGui
from FreeCAD import Vector
from math import sin, cos, pi
cr = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation().toEuler()
crx = cr[2] # Roll
cry = cr[1] # Pitch
crz = cr[0] # Yaw
crx = crx * pi / 180.0
cry = cry * pi / 180.0
crz = crz * pi / 180.0
x = sin(crz)
y = -(sin(crx) * cos(crz))
z = cos(crx) * cos(cry)
view = Vector(x, y, z)