如何以f(x)编程方式计算典型的导数以确保最大精度？
我正在实现Newton-Raphson方法，它需要对函数进行导数。
问问题
64280 次
8 回答
64
我同意@erikkallen 的观点，这(f(x + h) - f(x - h)) / 2 * h是数值逼近导数的常用方法。然而，获得正确的步长 h 有点微妙。
( 中的近似误差f(x + h) - f(x - h)) / 2 * h随着h变小而减小，这表示您应该h尽可能小。但是随着h变小，浮点减法的误差会增加，因为分子需要减去几乎相等的数字。如果h太小，您可以松动减法的精度很高。因此在实践中，您必须选择一个不太小的值，h以最大限度地减少近似误差和数值误差的组合。
根据经验，您可以尝试机器精度中 最小的双精度数h = SQRT(DBL_EPSILON)在哪里。是关于所以你可以使用or 。DBL_EPSILONe1 + e != 1DBL_EPSILON10^-15h = 10^-710^-8
有关更多详细信息，请参阅有关为微分方程选择步长的这些说明。
于 2009-10-13T12:41:11.430 回答
11
Newton_Raphson 假设您可以有两个函数 f(x) 及其导数 f'(x)。如果您没有可用的导数作为函数并且必须从原始函数估计导数，那么您应该使用另一种求根算法。
维基百科根发现提供了一些建议，就像任何数值分析文本一样。
于 2009-10-13T12:01:50.070 回答
9
1）第一种情况：
— 相对舍入误差，双精度约为 2^{-16}，浮点约为 2^{-7}。
我们可以计算总误差：
假设您正在使用双浮动操作。因此， h的最佳值为2sqrt(DBL_EPSILON/ f''(x) )。你不知道f''(x)。但是你必须估计这个值。例如，如果f''(x)约为 1，则h的最优值为2^{-7}，但如果f''(x)约为 10^6，则h的最优值为2^{- 10}！
2）第二种情况：
请注意，第二个近似误差趋于 0 比第一个快。但是如果 f'''(x) 非常滞后，那么第一个选项更可取：
请注意，在第一种情况下，h 与 e 成正比，但在第二种情况下，h 与 e^{1/3} 成正比。对于双浮点运算，e^{1/3} 是 2^{-5} 或 2^{-6}。（我想 f'''(x) 大约是 1）。
哪种方式更好？如果你不知道 f''(x) 和 f'''(x) 或者你无法估计这些值，那是未知的。相信第二种选择更可取。但是，如果您知道 f'''(x) 非常大，请使用第一个。
h的最佳值是多少？假设 f''(x) 和 f'''(x) 大约为 1。还假设我们使用双浮点运算。那么在第一种情况下，h 约为 2^{-8}，在第一种情况下，h 约为 2^{-5}。如果您知道 f''(x) 或 f'''(x)，请更正此值。
于 2009-10-13T14:55:50.893 回答
6
fprime(x) = (f(x+dx) - f(x-dx)) / (2*dx)
对于一些小dx。
于 2009-10-13T11:48:38.757 回答
5
您肯定要考虑约翰库克关于选择 h 的建议，但您通常不希望使用居中差异来近似导数。主要原因是它需要额外的函数评估，如果你使用前向差异，即
f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h
然后您将免费获得 f(x) 的值，因为您需要已经为牛顿法计算它。当你有一个标量方程时，这没什么大不了的，但如果 x 是一个向量，那么 f'(x) 是一个矩阵（雅可比行列式），你需要做 n 个额外的函数评估来近似它使用中心差分法。
于 2009-10-14T01:10:15.940 回答
3
除了上面的 John D. Cooks 回答之外，重要的是不仅要考虑浮点精度，还要考虑函数 f(x) 的鲁棒性。例如，在金融领域，常见的情况是 f(x) 实际上是蒙特卡罗模拟，并且 f(x) 的值有一些噪音。在这些情况下，使用非常小的步长会严重降低导数的准确性。
于 2009-10-13T13:27:31.547 回答
1
通常，信号噪声对导数质量的影响大于其他任何因素。如果 f(x) 中确实存在噪声，Savtizky-Golay 是一种出色的平滑算法，通常用于计算良好的导数。简而言之，SG 将多项式局部拟合到您的数据，然后该多项式可用于计算导数。
保罗
于 2009-11-06T16:41:37.980 回答