javascript - 如何制作一个计算小数的阶乘的函数？

Question

如何在 JavaScript 中创建一个计算十进制数的阶乘（或伽马函数）的函数？例如，我该如何计算2.33!？

Answer 1

我可能已经找到了一个现有的解决方案......它是 Lanczos 方法的一个实现，我在瑞典维基百科 ( http://sv.wikipedia.org/wiki/Gammafunktionen ) 上找到了它。它是用 python 编写的，并且说是正确的到小数点后 15 位。我将它移植到 js，交叉检查了一些随机值（http://www.efunda.com/math/gamma/findgamma.cfm）。

http://jsfiddle.net/Fzy9C/

var g = 7;
var C = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028,771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];

function gamma(z) {

    if (z < 0.5) return Math.PI / (Math.sin(Math.PI * z) * gamma(1 - z));
    else {
        z -= 1;

        var x = C[0];
        for (var i = 1; i < g + 2; i++)
        x += C[i] / (z + i);

        var t = z + g + 0.5;
        return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (z + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
    }
}

（当然它不支持虚数，因为 js 不支持）

Answer 2

作为此处其他答案的替代方案，这里有一个更简单的伽玛函数近似值，由 Gergő Nemes 在 2007 年提出。（参见关于斯特林近似的维基百科页面）。

这可以直接在 JavaScript 中用一行代码实现：

function gamma(z) {
  return Math.sqrt(2 * Math.PI / z) * Math.pow((1 / Math.E) * (z + 1 / (12 * z - 1 / (10 * z))), z);
}

您可以在 jsFiddle 上看到这一点。

对于 z > 8，这精确到 8 位数字，但对于较小的 z ，它仍然精确到少数数字。它不如 Lanczos 近似准确，但更简单，速度也稍快。

请注意，伽玛函数和阶乘函数略有不同。阶乘函数可以根据伽马函数定义，因此：

function factorial(n) {
  return gamma(n + 1);
}

Answer 3

这不是一个小问题。伽玛函数没有简单的封闭式公式。也就是说，有一些数值近似值应该适合您的需求。

以下答案将使用一种称为Lanczos approximation的技术。公式如下：

其中 g 是一个任意选择的常数，用于控制近似值的准确性。对于较大的 g，近似值会更准确。A _g (z) 是这样定义的：

最难的部分是找到 A _g (z)，因为p _n也是用依赖于 g 的复杂公式定义的。

对于以下代码，我不能太相信，因为我只是在 wikipedia 页面上编写 Python 程序的一个端口。

function gamma(n) {  // accurate to about 15 decimal places
  //some magic constants 
  var g = 7, // g represents the precision desired, p is the values of p[i] to plug into Lanczos' formula
      p = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028, 771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];
  if(n < 0.5) {
    return Math.PI / Math.sin(n * Math.PI) / gamma(1 - n);
  }
  else {
    n--;
    var x = p[0];
    for(var i = 1; i < g + 2; i++) {
      x += p[i] / (n + i);
    }
    var t = n + g + 0.5;
    return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (n + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
  }
}

当然，根据伽马函数的定义：

function factorial(n) {
  return gamma(n + 1);
}

您可以在 jsFiddle 上看到这一点。

Answer 4

只是为了完成@apelsinapa 答案以更正整数的计算（输入整数时我们没有得到整数解）。

@apelsinapa 的绝佳解决方案：

var g = 7;
var C = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028,771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];

function gamma(z) {
    if (z < 0.5) return Math.PI / (Math.sin(Math.PI * z) * gamma(1 - z));
    else {
        z -= 1;

        var x = C[0];
        for (var i = 1; i < g + 2; i++)
        x += C[i] / (z + i);

        var t = z + g + 0.5;
        return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (z + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
    }
}

并获得整数的正确答案：

 function factorialOfNumber(number) {
    if (number % 1 != 0 || number<0){
        return gamma(number + 1);
    }
    else {
        if(number == 0) {
           return 1;
        }
        for(var i = number; --i; ) {
           number *= i;
        }
        return number;
    }
}     

Answer 5

这是我几年前写的一个版本……有点乱但经过测试:)

var
    M_GAMMA = [76.18009172947146, -86.50532032941677, 24.01409824083091, -1.231739572450155, 0.1208650973866179e-2, -0.5395239384953e-5],
    M_GAMMAS = 6;

function gammaFn(x) // Modified to JavaScript from "Numerical Recipies in C" by P. Mainwaring
{
    var i = 0, n = ++x, tmp = x + 5.5, ser = 1.000000000190015;
    for (tmp -= (x + 0.5) * Math.log(tmp); i < M_GAMMAS; ++i) ser += M_GAMMA [i] / ++n;
    return Math.log(2.5066282746310005 * ser / x) - tmp;
}

function fact(x) { return x > 1 ? Math.exp(gammaFn(x)) : 1 }

function combin(n, k) { return (Math.exp(gammaFn(n) - gammaFn(n - k) - gammaFn(k)) + 0.5) | 0 } // Ms Excel COMBIN() n! / k!(n - k)!

n = 49; k = 6; alert(fact(n) + ' ' + fact(k) + ' ' + combin(n, k)); // Lottery odds! (13,983,816)

那么 gamma 和 gammaLn 函数是：

function gammaLn(x) { return gammaFn(--x) }

function gamma(x) { return Math.exp(gammaLn(x)) }

:-)

Answer 6

如果您只是在寻找计算实数阶乘的函数，那么您只需要来自 Lanczos 近似的这段代码：

function = factorial(z) {

  var g = 7;
  var C = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028, 771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];
  var x = C[0];

  for (var i = 1; i < g + 2; i++)
  x += C[i] / (z + i);

  var t = z + g + 0.5;
  return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (z + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
}

除了小数之外，它也适用于负数。