我想计算有限精度下exp函数的误差（数据类型为双精度）。是泰勒级数还是其他特殊算法？
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一般来说，实现 e x的最佳方式是调用exp您的计算平台提供的函数。
如果做不到这一点，实现该exp功能会很复杂，并且需要一些深奥的技能。一个实现通常包括：
- 测试各种特殊情况的输入，例如 NaN。
- 将输入乘以专门准备的 log 2 e 表示，将问题从x转换为 2 y，其中y = x • log 2 e。
- 将y的整数部分移动到浮点编码的指数字段中。
- 用minimax polynomial评估y的小数部分的指数。
- 结合上面的两个结果。
此外：
- minimax 多项式是使用 Remez 算法或类似算法设计的，通常使用特殊软件。
- 这项工作必须以一定的精度完成，以便可以精确计算最终结果。
泰勒级数不适合评估函数，因为它们远离其中心点是不准确的。这意味着它们需要太多项来收敛到必要的精度。项太多不仅需要时间，而且难以准确地进行算术运算。
于 2013-03-12T00:32:43.090 回答
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虽然我同意 Eric 在他的回复中所说的大部分内容，但有几点值得补充。我编写了一个工具，除其他外，它允许评估指数到高（用户指定）精度。
当精度可能变化时，必须求助于级数逼近之类的工具，因为这样就没有单一的多项式逼近就足够了。即便如此，也有很多技巧可以使用。事实上，我对我用来加速这样一个系列的各种技巧感到惊讶。
任何此类努力的一个很好的入门参考是 Hart 的“计算机近似”，这本书很遗憾地不容易找到。它提供了许多多项式近似，但也适度详细地讨论了范围缩减技巧。
指数级数本身就特别有趣。我在 HPFMod2.pdf 文件的第 4.1 节中描述了我用于指数的方法，该文件包含在HPF中。
例如，要计算 exp(123.456789)，可能会尝试直接使用系列，但更好的是存储 e 本身的值。然后我们可以使用范围缩减来计算
exp(123.456789) = exp(1)*exp(2)*exp(8)*exp(16)*exp(32)*exp(64)*exp(.456789)
我们通过重复平方得到 2 的幂的指数，那么小数部分将适度快速收敛。（例如，最终系列中 100 位精度需要 31 项。）
但是，假设我们只是碰巧注意到
123.456789 = 28*ln(10) + 58.9844063961667
现在，我们可以将所需的指数写为：
exp(123.456789) = 10^28 * exp(1)*exp(2)*exp(8)*exp(16)*exp(32)*exp(-0.0155936038332811)
只要我们知道（已存储）ln(10) 的值，最终系列将只需要大约 17 项即可达到所需的 100 位精度。
于 2013-03-12T15:01:17.020 回答