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如果我有一个波形x，例如

x = [math.sin(W*t + Ph) for t in range(16)]

与任意Wand Ph，我计算它的（Real）fFFT

f = numpy.fft.rfft(x)

x我可以得到原件

numpy.fft.irfft(f)

现在，如果我需要将恢复波形的范围扩展到左侧和右侧多个样本，该怎么办？即一个波形y，len(y) == 48和是原始波形的周期性扩展y[16:32] == x。y[0:16], y[32:48]

换句话说，如果 FFT 假设它的输入是一个f(t)在 上采样的无限函数t = 0, 1, ... N-1，我如何恢复f(t)fort<0和的值t>=N？

注意：我以完美的正弦波为例，但实际上x可以是任何信号：任意信号，例如x = range(16)or x = np.random.rand(16)，或从随机.wav文件中获取的任意长度的段。

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以下示例应该让您很好地了解如何去做：

>>> x1 = np.random.rand(4)
>>> x2 = np.concatenate((x1, x1))
>>> x3 = np.concatenate((x1, x1, x1))
>>> np.fft.rfft(x1)
array([ 2.30410617+0.j        , -0.89574460-0.26838271j, -0.26468792+0.j        ])
>>> np.fft.rfft(x2)
array([ 4.60821233+0.j        ,  0.00000000+0.j        ,
       -1.79148921-0.53676542j,  0.00000000+0.j        , -0.52937585+0.j        ])
>>> np.fft.rfft(x3)
array([ 6.91231850+0.j        ,  0.00000000+0.j        ,
        0.00000000+0.j        , -2.68723381-0.80514813j,
        0.00000000+0.j        ,  0.00000000+0.j        , -0.79406377+0.j        ])

当然，获得三个周期的最简单方法是在时域中连接 3 个逆 FFT 副本：

np.concatenate((np.fft.irfft(f),) * 3)

但如果您想或必须在频域中执行此操作，您可以执行以下操作：

>>> a = np.arange(4)
>>> f = np.fft.rfft(a)
>>> n = 3
>>> ext_f = np.zeros(((len(f) - 1) * n + 1,), dtype=f.dtype)
>>> ext_f[::n] = f * n
>>> np.fft.irfft(ext_f)
array([ 0.,  1.,  2.,  3.,  0.,  1.,  2.,  3.,  0.,  1.,  2.,  3.])
于 2013-03-05T05:35:52.953 回答
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现在，如果我需要将恢复波形的范围扩展到左侧和右侧多个样本，该怎么办？即波形 y 使得 len(y) == 48, y[16:32] == x 和 y[0:16], y[32:48] 是原始波形的周期性扩展。

周期性扩展也只是 x，因为它是周期性扩展。

换句话说，如果 FFT 假设其输入是在 t = 0, 1, ... N-1 上采样的无限函数 f(t)，我如何恢复 t<0 和 t 时的 f(t) 值>=N？

“N 点 FFT 假设”您的信号是周期性的，周期为 N。那是因为您的块分解成的所有谐波基函数都是周期性的，因为前 N 个和随后的 N 个样本只是主要 N 个样本。

如果您允许输入正弦曲线的任何值W将不是周期性的，周期为 N。但这并不能阻止 FFT 函数将其分解为许多周期性正弦曲线的总和。并且周期为 N 的周期正弦波之和也将具有周期为 N。

显然，你必须重新考虑这个问题。

也许你可以利用线性预测。根据片段的加窗自相关和 Levinson-Durbin 递归计算几个线性预测系数，并使用这些预测系数进行外推。然而，对于一个稳定的预测滤波器，预测会收敛到零，收敛速度取决于你有什么样的信号。例如，白噪声的完美线性预测系数全为零。在这种情况下，您将向左侧和右侧“外推”零。但是您对此无能为力。如果您有白噪声，则片段中没有关于周围样本的信息，因为所有样本都是独立的（这就是白噪声的含义）。

这种线性预测实际上能够完美地预测正弦样本。因此，如果您的输入是任意 W 和 p 的 sin(W*t+p)，则您只需要二阶线性预测。对于更复杂的信号，我建议 10 或 16 的顺序。

于 2013-03-05T14:32:45.410 回答
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对于在 FFT 孔径或长度上呈周期性的固定波形，您可以循环重复该波形，或 IFFT(FFT()) 重新合成等效波形，以在时域中扩展它们。对于从 FFT 孔径或长度中非周期性的源在时间上分离的波形，FFT 结果将是与 Sinc 函数卷积的频谱。因此，需要某种等效于去卷积的方法来恢复原始的非窗口光谱内容。由于这种反卷积是困难的或不可能的，因此最常见的是使用分析/重新合成方法来代替，例如相位声码器过程或其他频率估计器。然后，那些可能与单个原始 FFT 结果的 bin 中的频率不同的估计频率可以被馈送到一组正弦合成器，

于 2013-03-05T19:11:25.153 回答