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我知道这不完全是一个编程问题，但我一直试图哄着 Matlab 和 Mathematica 为我解决这个问题。这是一个复杂变量类的练习考试的问题。任何帮助，或我可能会找到一些的方向，将不胜感激。

不可缺少的

我尝试了很多不同的东西，但我似乎无法弄清楚...... WolframAlpha 需要很长时间来计算它（即使 Pro 延长了计算时间）。Mathematica 不喜欢它，Matlab 给了我一些令人发指的恶心表达......

数学代码：

Integrate[(z^2 + 4)/(z^3 - 5), z, (2 - i), (2 + 2 i)]

Matlab代码：

int((z^2 + 4)/(z^3 - 5), z, (2 - i), (2 + 2*i))

显然，为了简化计算，应该对此进行某种操作，但我只是不确定从哪里开始......我可以说这个积分大于积分z^2/z^3 = 1/z然后改变积分变量？不知道大家怎么看？

再说一次，我知道这不完全是编程，但我发现这个网站上的人是最聪明的，我想我可以试一试。

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手动集成

如果您想手动集成它，我建议您进行部分分数扩展，以将分数变成更容易集成的部分。

近似积分

考虑 z 的绝对值。

z 从 2-i 变为 2+2i，因此它的绝对值将介于 2（当它位于 2+0i 时）和 sqrt(8)（当它位于 2+2i 时）之间。

这表示：

  • 4<=|z^2|<=8
  • 绝对值 z^2+4 将始终 <= 12
  • 并且 z^3-5 的绝对值将始终 >= 3

结合这两者，我们可以推断出被积函数的绝对值将始终 <= 12/3。

这让我们得出结论，积分的绝对值必须 <= 12（因为线的长度为 3）。

于 2013-02-13T19:46:52.420 回答
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请注意，在复平面上绘制的等高线是从 (2,-1) 到 (2,2) 的垂直线。也就是说，在 Mathematica 中，您可以将积分写为：

z = x + I y;
x = 2;
int = Integrate[ ((z^2 + 4)/(z^3 - 5), {y,-1,2}];
N@Abs@int
(* Out[]:= 2.08808 *)

数学图形

请注意，您需要使用IMathematica 中的虚数。事实上，这个结果小于 12：

N@Abs@% <= 12
(* Out[]:= True *)

数学图形

于 2013-02-13T22:36:01.703 回答
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更好地使用 ML 定理（countour 的三角不等式）。积分小于 M，即沿轮廓的 f(z) 的模的最大值乘以路径长度的 L。路径是一条长度为 3 的直线，如在复平面中所见。最大模数是 2 x sqrt(2)（从原点到 2+2i，最小模数是 sqrt(5)，从原点到 2-i。M 很容易通过将分子取大而分母取小来计算） f(z) 的模数最终小于 12（因为 5 x sqrt(5) 大于 8）。因此，无需计算积分即可解决问题。

于 2014-08-22T16:26:52.913 回答