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假设我有一个长且不规则的数字信号，由在不同时间出现（并且相互重叠）的较小但不规则的信号组成。我们将这些较短的信号称为构成较大信号的“片段”。“不规则”是指它不是特定的频率或模式。

鉴于长信号，我需要找到产生（尽可能接近）较大信号的部件的最佳排列。我知道这些片段是什么样子，但我不知道它们中有多少存在于完整信号中（或者任何片段存在于完整信号中的多少次）。你会用什么软件算法来做这个优化？我在网上搜索什么来获得解决此问题的帮助？

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这是一个尝试。

这实际上是反卷积问题中更容易的一个。它更容易，因为您可能能够有一个独特的答案。更难的问题是你也不知道这些碎片是什么样子的。这种情况称为盲反卷积。这是一个更难的问题，通常是迭代和统计的（ML 或 MAP），并且解决方案可能不正确。

幸运的是，您的情况更容易，但仍然不是那么容易，因为您有多个部分：p

我认为它可能通常称为混合反卷积？

所以让 f[t] for t=1,...N 成为你的长信号。让 h1[t]...hn[t] for t=0,1,2,...M 成为您的短信号。显然这里，N>>M。

所以你的假设是：

(1) f[t] = h1[t+a1[1]]+h1[t+a1[2]] + ...
       +h2[t+a2[1]]+h2[t+a2[2]] + ...
       +....
       +hn[t+an[1]]+h2[t+an[2]] + ...

观察该方程的每一行实际上是 hj * uj 其中 uj 是移位的Kronecker delta的总和。这里的 * 是卷积。

那么现在怎么办？

让 Hj 是由 hj 生成的Toeplitz 矩阵（可能取决于你如何看待它），那么上面的等式变为：

 (2) F = H1 U1 + H2 U2 + ... Hn Un

subject to the constraint that uj[k] must be either 0 or 1.

其中 F 是向量 [f[0],...F[N]]，Uj 是向量 [uj[0],...uj[N]]。

因此，您可以将其重写为：

 (3) F = H * U

其中 H = [H1 ... Hn]（水平串联）和 U = [U1; ... ;Un]（垂直串联）。

H 是一个 Nx(nN) 矩阵。U 是一个 nN 向量。

好的，所以解空间是有限的。它的大小为 2^(nN)。因此，您可以尝试所有可能的组合，看看哪个组合给您的 ||F - H*U|| 最低，但这将花费太长时间。

你可以做的是使用伪逆解方程（3） ，多元线性回归（使用最小二乘，得出伪逆）或类似的东西

是否可以使用 Accelerate/LAPACK 求解非方形欠/过约束矩阵？

然后在 H 的零空间内移动该解，以得到一个受 uj[k] 必须为 0 或 1 约束的解。

或者，您可以使用Nelder-Mead或Levenberg-Marquardt之类的方法来找到以下各项的最小值：

  ||F - H U|| + lambda g(U)

其中 g 是一个正则化函数，定义为：

   g(U) = ||U - U*||

如果 |U[j]|<|U[j]-1|，则 U*[j] = 0，否则为 1

好的，所以我不知道这是否会收敛。如果没有，你必须想出自己的正则化器。当您有一组线性方程时，使用广义非线性优化器有点愚蠢。

实际上，您会遇到噪音等等，因此使用MAP之类的东西并像以前一样应用小块实际上可能不是一个坏主意。

于 2013-02-09T09:04:31.073 回答