3

我正在尝试以最小二乘法求解线性方程组。使用犰狳及其求解函数，我想计算抛物线拟合的三个系数。

vec coeffs = solve(CtC, Ctb)

与 CtC=

1.0e+009 *       
+--------------------------------+
|     2.0878    0.0221    0.0002 |
|     0.0221    0.0002    0.0000 |
|     0.0002    0.0000    0.0000 |
+--------------------------------+

和 Ctb=

+------------+
|    -0.6163 |
|    -0.0065 |
|    -0.0001 |
+------------+

显然 solve() 无法解决它，甚至 Matlab 警告：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.
RCOND = 1.303968e-022.

一般来说，犰狳或c ++中是否有任何解决方法或更强大/更复杂的方法？谢谢

4

2 回答 2

2

您面临的问题是矩阵的条件数非常高，这可能会使您的结果由于舍入错误而变得毫无意义。

正如 rhalbersma 所建议的，您可以尝试更好地缩放不同的条目以减少此问题。如果您没有这样的解决方案，那么您必须使用preconditioner。其中有很多（有些非常复杂），因此您应该找到适合您问题的一个。

但是，对于您手头的这个特定系统，我将简单地反转方程（1）和（3），这将产生一个下三角系统，这很容易用 Matlab 求解（不需要迭代方法，可以对条件数非常敏感。在您的情况下，由于矩阵是对称的，Matlab 可能会尝试使用 cg 来解决它，这是一种迭代方法）。

顺便说一句，您的问题是否会产生接近奇异的矩阵？如果不是，我会在组装矩阵之前检查问题（或错误）（由于舍入错误，矩阵可能是非奇异的）。

编辑\：在我的 matlab 2009 上，我在尝试解决这个系统（使用命令）时没有收到任何警告。但是，如果我尝试使用命令pcg，我会得到它们！

于 2013-01-23T15:09:48.357 回答
2

您不能反转行列式等于零的矩阵。在您的情况下，行列式等于-8e-12，实际上并不等于零，而是作为逆矩阵给出（使用R）

1.0e-009 *
              [,1]          [,2]    [,3]
[1,] -3.815763e-16  6.806617e-14    5000
[2,]  5.111864e-14  5.000000e+03 -552500
[3,]  5.000000e+03 -5.525000e+05 8856250

请注意，这个逆矩阵既有非常大的数字，也有非常小的数字。这解释了您对“接近单数”和“严重缩放”的警告。根据底层浮点库，您可能会遇到非常糟糕的舍入错误。

您可以返回到您的应用程序，查看是否有任何变量表示彼此相差多个数量级的列或行。如果是这样，你可以重新调整这些。例如，如果它们之间有 100 万的因数，并且它们代表长度，则以公里表示，而以毫米表示另一个。

于 2013-01-23T13:40:49.237 回答