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我有任意基数中整数表示的长度。假设长度为 15，基数为 36。然后我想计算出所述整数的表示在另一个任意基数中的长度。即，转换为基数 2 可能会导致长度为 68。

我知道它是按照下面的思路，但我不能完全理解我需要地板和天花板的东西，而且我得到的结果有些离谱：

length * log(fromBase) / log(toBase)
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3 回答 3

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遵循类似 Mathematica 的语法，让

Log[b,n]

表示以 n 为底的 b 的对数。让Log[n]代表 的自然对数n。

那么比例

Log[b1,n]/Log[b2,n]

是常数，并且等于

Log[b2]/Log[b1]

这个比率是一个乘数，用于从 base 中的位数计算 baseb1中的位数b2（反之亦然，如果你这样看的话）。对于问题中的示例，需要一个 15 位的 base-36 数字

15*Log[36]/Log[2] == 77.5489

基数 2 位。当然，这正是您的问题。您只需要将最终答案四舍五入到下一个整数。

当然，我不确定为什么您似乎得到了一些偏离的结果。

于 2013-01-23T05:59:48.983 回答
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可悲的是，如果不进行高精度计算，就没有精确的解决方案。例如，（我将在工作中使用 MATLAB，包括我自己编写的用于高精度工作的工具）什么是 2^200？在基数 10 中，我们得到：

vpij(2)^200
ans =
    1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376

该数字使用以 201 为基数的 2 位数字以二进制形式表示。但是，2^200-1 只需要 200 个以 2 为底的数字即可表示。

vpij(2)^200 - 1
ans =
    1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301375

现在，我们可以通过只取最高位数字来计算这些数字的对数，作为双精度数。我们需要将一个数字的以 2 为底的对数加 1，以了解表示它所需的以 2 为底的数字的数量。

format long g
1 + log2(vpij(2)^200)
ans =
   201

1 + log2(vpij(2)^200 - 1)
ans =
   201

这里 log2 正是这样做的，采用最高十进制数字来计算该日志。请注意，它无法判断第二个数字确实需要少一位数字才能以二进制形式存储。

vpij2bin(vpij(2)^200)
ans =
100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

vpij2bin(vpij(2)^200 - 1)
ans =
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

我们可以通过对这些数字进行高精度日志来了解会发生什么。因此，精确到小数点后 100 位，

log2(hpf(2,100)^200)
ans =
200

log2(hpf(2,100)^200 - 1)
ans =
199.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999991022086719253476184905817230522465495

这两个数字之间的差异非常小。

log10(hpf(2,100)^200) - log10(hpf(2,100)^200 - 1)
ans =
2.702621195974725251000559400026211938865e-61

因此，任何使用日志的计算都必须在此处失败，除非本身采用高精度日志。充其量，你可以在正确的数字范围内，但仅此而已。因此，如果您的目标只是为数字分配足够的空间，那么总是比明显需要的多分配一位数字。在您开始使用真正巨大的力量之前，这应该足够了。

（VPIJ 是 MATLAB 中的一种新的可变精度整数形式，它将直接取代我的旧 VPI 工具。HPF 已经在文件交换中可用。）

于 2013-01-23T15:58:44.497 回答
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您可以在不使用对数的情况下得到准确的答案。沿着任意基数的基数向上走，直到数字适合里面。

Python 示例：

def count_digits(number, base):
    radix = 1
    while number >= base ** radix:
        radix += 1
    return radix
于 2014-02-04T12:01:17.523 回答