equation - 用 10 次多项式求解方程组，LSM

Question

我有使用普通 LSM（最小二乘法）求解方程组（多项式 10 次）的数值问题。我获得了具有巨大和非常小的值的参数 - 因此我不能用这种方法构造逆矩阵 - 即使在扩展变量中精度也很低。我尝试在 C++、Matlab、Delphi 中执行此操作。有人可以知道应用仪器，我可以用足够的精度或数字提示来做到这一点，并得到很好的结果。不幸的是，矩阵的标准计算是难以捉摸的。

Answer 1

我认为您的问题来自您使用 10 阶多项式这一事实，这通常会导致数值问题：

• 首先，它们可能不适合，因为振荡很大。即使在对简单函数进行插值时，也会出现这些振荡，请参见著名的龙格示例。
• 其次，高阶多项式的拟合会导致山条件线性系统，这就是为什么您不能反转矩阵的原因（无论如何您都不应该这样做）。我做了一个简单的实验：我取了11个等距点（在区间[0,1]上），组装线性系统的矩阵来求解。Matlab给了我一个大约1e8的条件数，所以最小二乘矩阵的条件数是1e16。所以你的矩阵“接近奇异”，这意味着所有的数值精度都丢失了。

因此，摆脱问题的最佳方法是摆脱 10 阶多项式。您可能应该考虑低阶多项式、样条曲线或分段多项式逼近。

如果你真的需要 10 阶多项式（例如，如果你知道你的数据是由这样的多项式生成的），那么不要反转矩阵。使用良好的预条件子和迭代方法来求解系统，而不需要反转矩阵。