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问题

在一个运动的二维圆形物体（它们具有质量和速度属性）以完美弹性相互碰撞的封闭系统中，系统内所有物体的总速度速度（速度大小）是否守恒？

背景

我正在 Python 中实现一个简单的二维物理引擎，基于这个 Stack Overflow question中概述的碰撞解决方法。我的期望是，当两个物体发生碰撞时，总速度（与每个物体相关的速度矢量的长度之和）应该在它们之间保持恒定，我根据这个期望为我的解析方法设计了一个单元测试。但我发现我的测试失败了。所以我想首先确保我的假设是正确的。

如果正确，我邀请您查看我的代码并解释测试失败的原因：

冲突解决

class Physics:

    @staticmethod
    def reflect_colliding_circles(
        (c1_x, c1_y, c1_vx, c1_vy, c1_r, c1_m, c1_e),
        (c2_x, c2_y, c2_vx, c2_vy, c2_r, c2_m, c2_e)):
        # inverse masses, mtd, restitution
        im1 = 1.0 / c1_m
        im2 = 1.0 / c2_m
        mtd = Physics.calculate_mtd((c1_x, c1_y, c1_r), (c2_x, c2_y, c2_r))
        normal_mtd = mtd.normalized()
        restitution = c1_e * c2_e

        # impact speed
        v = vec2d(c1_vx, c1_vy) - vec2d(c2_vx, c2_vy)
        vn = v.dot(normal_mtd)

        # circle moving away from each other already -- return
        # original velocities
        if vn > 0.0:
            return vec2d(c1_vx, c1_vy), vec2d(c2_vx, c2_vy)

        # collision impulse
        i = (-1.0 * (1.0 + restitution) * vn) / (im1 + im2)
        impulse = normal_mtd * i

        # change in momentun
        new_c1_v = vec2d(c1_vx, c1_vy) + (impulse * im1)
        new_c2_v = vec2d(c2_vx, c2_vy) - (impulse * im2)

        return new_c1_v, new_c2_v

    @staticmethod
    def calculate_mtd((c1_x, c1_y, c1_r), (c2_x, c2_y, c2_r)):
        """source: https://stackoverflow.com/q/345838/1093087"""
        delta = vec2d(c1_x, c1_y) - vec2d(c2_x, c2_y)
        d = delta.length
        mtd = delta * (c1_r + c2_r - d) / d
        return mtd

单元测试

def test_conservation_of_velocity_in_elastic_collisions(self):
    for n in range(10):
        r = 2
        m = 10
        e = 1.0

        c1_pos = vec2d(0, 0)
        c1_v = vec2d(random.randint(-100,100), random.randint(-100,100))

        c2_delta = vec2d(random.randint(-100,100), random.randint(-100,100))
        c2_delta.length = random.randint(50, 99) * r / 100.0
        c2_pos = c1_pos + c2_delta
        c2_v = vec2d(random.randint(-100,100), random.randint(-100,100))

        c1_np, c2_np = Physics.translate_colliding_circles(
            (c1_pos.x, c1_pos.y, r, m),
            (c2_pos.x, c2_pos.y, r, m))

        c1_nv, c2_nv = Physics.reflect_colliding_circles(
            (c1_np.x, c1_np.y, c1_v.x, c1_v.y, r, m, e),
            (c2_np.x, c2_np.y, c2_v.x, c2_v.y, r, m, e))

        old_v = c1_v.length + c2_v.length
        new_v = c1_nv.length + c2_nv.length

        self.assertTrue(Physics.circles_overlap(
            (c1_pos.x, c1_pos.y, r), (c2_pos.x, c2_pos.y, r)))
        self.assertTrue(old_v - new_v < old_v * .01)

我正在使用这个 pygame 矢量类：http ://www.pygame.org/wiki/2DVectorClass

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3 回答 3

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无论碰撞的弹性如何，总动量都是守恒的。总速度显然不是。严格来说，速度是一个向量，作为向量很容易看出它会发生变化：例如，一个球从一个不可移动的垂直壁上弹性反弹，它的速度就会变成相反的。

于 2012-11-30T04:43:18.447 回答
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AndreyT 的回答让我明白了。这是我想要的单元测试：

def test_conservation_of_momentum_in_elastic_collisions(self):
    """Some references:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision
    http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum
    https://stackoverflow.com/a/13639140/1093087"""
    for n in range(10):
        r = 2
        m = 10
        e = 1.0

        c1_pos = vec2d(0, 0)
        c1_v = vec2d(random.randint(-100,100), random.randint(-100,100))

        c2_delta = vec2d(random.randint(-100,100), random.randint(-100,100))
        c2_delta.length = random.randint(50, 99) * r / 100.0
        c2_pos = c1_pos + c2_delta
        c2_v = vec2d(random.randint(-100,100), random.randint(-100,100))

        momentum_before = (c1_v * m) + (c2_v * m)  

        c1_np, c2_np = collision.translate_colliding_circles(
            (c1_pos.x, c1_pos.y, r, m),
            (c2_pos.x, c2_pos.y, r, m))

        c1_nv, c2_nv = collision.reflect_colliding_circles(
            (c1_np.x, c1_np.y, c1_v.x, c1_v.y, r, m, e),
            (c2_np.x, c2_np.y, c2_v.x, c2_v.y, r, m, e))

        momentum_after = (c1_nv * m) + (c2_nv * m)  

        self.assertTrue(collision.circles_overlap(
            (c1_pos.x, c1_pos.y, r), (c2_pos.x, c2_pos.y, r)))
        self.assertEqual(momentum_before, momentum_after)

它通过了。

于 2012-11-30T05:15:57.857 回答
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这是一个很好的问题。我认为弹性碰撞理论中不存在正确的解决方案，因为它是在物理课程/书籍中教授的。

在质心 (CM) 参考系中，在二元弹性碰撞 (惠更斯) 中，相对速度是相反的。由于相对速度不取决于选择的参考系，因此相对速度在任何任意参考系中都会反转。这确保了与 CM 参考系中的速度之和相同的相对速度的大小保持恒定。

本质上，上面所说的意思是：如果您计算 CM 框架中的速度总和（速度大小），您的测试/代码必须没有失败。

我可以通过补充信息的方式添加以下内容。

还有另一种理论导致了只需要恢复相对速度而不坚持相对速度反转的结果。根据该理论，在任意参考系中，两个质量之间的动能 (KE) 转移是可能的，同时保持 KE 的总和不变。该理论可能导致您的代码/测试结果失败。

我不明白你写的代码，因为我不熟悉计算机代码/程序。因此，我无法建议对您的程序进行修改。

于 2012-12-24T07:16:34.057 回答