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Eigen是否具有存储密集、固定大小、对称矩阵的有效类型？（嘿，它们无处不在！）

即对于 N=9，它应该只存储 (1+9)*9/2==45 个元素并且它具有适当的操作。例如，应该有效地添加两个对称矩阵，返回相似的对称矩阵。

如果没有这样的事情，我应该采取哪些行动（看起来像这样）将这种类型引入 Eigen？它有“视图”的概念吗？我可以为我自己的类型写一些像“矩阵视图”这样的东西，这会使它成为 Eigen-friednly 吗？

PS也许我可以使用map将普通数组视为 1xN 矩阵，并对其进行操作。但这不是最干净的解决方案。

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对称矩阵的打包存储是矢量化代码的一大敌人，即速度。标准做法是将相关的 N*(N+1)/2 系数存储在全密集 NxN 矩阵的上三角或下三角部分中，而剩余的 (N-1)*N/2 不被引用。然后通过考虑这种特殊的存储来定义对称矩阵上的所有操作。在 eigen 中，您有三角和自伴视图的概念来获得这一点。

从特征参考：（对于实矩阵selfadjoint ==对称）。

就像三角矩阵一样，您可以引用方阵的任何三角形部分，将其视为自伴随矩阵并执行特殊和优化的操作。同样，相反的三角形部分从未被引用，可用于存储其他信息。

除非内存是一个大问题，否则我建议将矩阵的未引用部分留空。（更易读的代码，没有性能问题。）

于 2012-11-15T21:39:47.523 回答
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是的，eigen3 有views的概念。但是它对存储没有任何作用。就像一个想法一样，您也许可以为两个相同类型的对称矩阵共享一个更大的块：

Matrix<float,4,4> A1, A2; // assume A1 and A2 to be symmetric
Matrix<float,5,4> A;
A.topRightCorner<4,4>().triangularView<Upper>() = A1;
A.bottomLeftCorner<4,4>().triangularView<Lower>() = A2;

不过它很麻烦，如果你的记忆真的很珍贵，我只会使用它。

于 2012-11-15T20:48:09.287 回答
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对称矩阵的高效类型

您只需将值分配给矩阵的下/上三角部分并使用本征三角和自伴随视图。但是，我已经在小型固定大小的矩阵上进行了测试。我注意到在性能方面，使用视图并不总是最好的选择。考虑以下代码：

Eigen::Matrix2d m;
m(0,0) = 2.0;
m(1,0) = 1.0;
// m(0,1) = 1.0;
m(1,1) = 2.0;
Eigen::Vector2d v;
v << 1.0,1.0;
auto result = m.selfadjointView<Eigen::Lower>()*v;

与下面介绍的替代解决方案相比，最后一行中的产品非常慢（double 2x2在我的例子中，矩阵慢了大约 20%）。（使用完整矩阵的乘积，通过取消注释m(0,1) = 1.0;和使用auto result = m*v，对于double 2x2矩阵来说甚至更快）。

一些替代品。

1）将对称矩阵存储在向量中

您可以将矩阵存储在大小为 45 的向量中。以向量格式对 2 个矩阵求和很简单（只需对向量求和）。但是您必须为产品编写自己的实现。

这是这样一个matrix * vector产品（密集，固定大小）的实现，其中矩阵的下部按列存储在向量中：

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,1> matrixVectorTimesVector(const Eigen::Matrix<T,S*(S+1)/2,1>& m, const Eigen::Matrix<T,S,1>& v)
{
    Eigen::Matrix<T,S,1> ret(Eigen::Matrix<T,S,1>::Zero());
    int counter(0);
    for (int i=0; i<S; ++i)
    {
        ret[i] += m(counter++)*v(i);
        for (int j=i+1; j<S; ++j)
        {
            ret[i] += m(counter)*v(j);
            ret[j] += m(counter++)*v(i);
        }
    }
    return ret;
}

2）只存储三角形部分并实现自己的操作

您当然也可以实现自己的 product matrix * vector，其中矩阵仅存储 45 个元素（假设我们存储下三角形部分）。这可能是最优雅的解决方案，因为它保持矩阵的格式（而不是使用表示矩阵的向量）。然后，您还可以使用本征函数，如下例所示：

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,S> symmMatrixPlusSymmMatrix( Eigen::Matrix<T,S,S>& m1, const Eigen::Matrix<T,S,S>& m2)
{
    Eigen::Matrix<T,S,S> ret;
    ret.template triangularView<Eigen::Lower>() = m1 + m2; // no performance gap here!
    return ret;
}

在上面的函数中（2 个对称矩阵的和），只访问了 m1 和 m2 的下三角部分。请注意，triangularView在这种情况下不会出现性能差距（我根据我的基准确认了这一点）。

matrix * vector产品见下例（性能与方案一中的产品相同）。该算法只访问矩阵的下三角部分。

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,1> symmMatrixTimesVector(const Eigen::Matrix<T,S,S>& m, const Eigen::Matrix<T,S,1>& v)
{
    Eigen::Matrix<T,S,1> ret(Eigen::Matrix<T,S,1>::Zero());
    int counter(0);

    for (int c=0; c<S; ++c)
    {
        ret(c) += m(c,c)*v(c);
        for (int r=c+1; r<S; ++r)
        {
            ret(c) += m(r,c)*v(r);
            ret(r) += m(r,c)*v(c);
        }
    }
    return ret;
}

Matrix2d*Vector2d在我的例子中，与使用完整矩阵（2x2 = 4 个元素）的产品相比，产品的性能增益为10%。

于 2019-02-23T09:45:06.110 回答