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问题的简要说明：我使用 Newton Raphson 算法在多项式中求根，但在某些情况下不起作用。为什么？

我从“c++ 中的数值配方”中提取了一个 Newton Raphson 混合算法，如果 New-Raph 没有正确收敛（导数值低或收敛速度不快），该算法会一分为二。

我用几个多项式检查了算法，它奏效了。现在我正在我拥有的软件内部进行测试，但我总是遇到特定多项式的错误。我的问题是，我不知道为什么这个多项式没有得到结果，而其他许多人却得到了结果。因为我想改进任何多项式的算法，所以需要知道哪一个是不收敛的原因，以便我可以正确对待它。

接下来，我将发布我可以提供的有关算法和出现错误的多项式的所有信息。

多项式：

f(t)= t^4 + 0,557257315256597*t^3 - 3,68254086033178*t^2 +
+ 0,139389107255627*t + 1,75823776590795

它是一阶导数：

 f'(t)= 4*t^3 + 1.671771945769790*t^2 - 7.365081720663563*t + 0.139389107255627

阴谋： 在此处输入图像描述

根（通过 Matlab）：

  -2.133112008595826          1.371976341295347          0.883715461977390 
  -0.679837109933505

算法：

double rtsafe(double* coeffs, int degree, double x1, double x2,double xacc,double xacc2)
    {
    int j;
    double df,dx,dxold,f,fh,fl;
    double temp,xh,xl,rts;
    double* dcoeffs=dvector(0,degree);
    for(int i=0;i<=degree;i++)
        dcoeffs[i]=0.0;
    PolyDeriv(coeffs,dcoeffs,degree);
    evalPoly(x1,coeffs,degree,&fl);
    evalPoly(x2,coeffs,degree,&fh);
    evalPoly(x2,dcoeffs,degree-1,&df);
if ((fl > 0.0 && fh > 0.0) || (fl < 0.0 && fh < 0.0))
    nrerror("Root must be bracketed in rtsafe");

if (fl == 0.0) return x1;
if (fh == 0.0) return x2;

if (fl < 0.0) { // Orient the search so that f(xl) < 0.
    xl=x1;
    xh=x2;
} else {
    xh=x1;
    xl=x2;
}
rts=0.5*(x1+x2);    //Initialize the guess for root,
dxold=fabs(x2-x1);  //the "stepsize before last,"
dx=dxold;           //and the last step

evalPoly(rts,coeffs,degree,&f);
evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&dx);

for (j=1;j<=MAXIT;j++) { //Loop over allowed iterations

    if ((((rts-xh)*df-f)*((rts-xl)*df-f) > 0.0) //Bisect if Newton out of range,
            || (fabs(2.0*f) > fabs(dxold*df))) { //or not decreasing fast enough.
        dxold=dx;
        dx=0.5*(xh-xl);
        rts=xl+dx;
        if (xl == rts) 
            return rts; //Change in root is negligible.
    } else {// Newton step acceptable. Take it.
        dxold=dx;
        dx=f/df;
        temp=rts;
        rts -= dx;
        if (temp == rts)
            return rts;
    }
    if (fabs(dx) < xacc) 
        return rts;// Convergence criterion
    evalPoly(rts,coeffs,degree,&f);
    evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&dx);
    //The one new function evaluation per iteration.
    if (f < 0.0) //Maintain the bracket on the root.
        xl=rts;
    else
        xh=rts;

}
//As the Accuracy asked to the algorithm is really high (but usually easily reached)
//the results precission is checked again, but with a less exigent result
dx=f/df;
if(fabs(dx)<xacc2)
    return rts;
nrerror("Maximum number of iterations exceeded in rtsafe");
return 0.0;// Never get here.
}

使用以下变量调用该算法：

x1=0.019
x2=1.05
xacc=1e-10
xacc2=0.1
degree=4
MAXIT=1000
coeffs[0]=1.75823776590795;
coeffs[1]=0.139389107255627;
coeffs[2]=-3.68254086033178;
coeffs[3]=0.557257315256597;
coeffs[4]=1.0;

问题是该算法超过了最大迭代次数，并且 aproximatedly 的根存在错误0.15。

所以我的直接和简化的问题是：为什么当许多（至少 1000 个）其他非常相似的多项式（精度为 1e-10 且迭代次数很少！）时，这个多项式没有达到准确的误差！

我知道这个问题很难，它可能没有一个真正直接的答案，但我被这个问题困扰了好几天，我不知道如何解决它。非常感谢您花时间阅读我的问题。

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2 回答 2

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在没有运行您的代码的情况下，我最初的猜测是您正在与浮点值进行比较以确定您的解决方案是否已经收敛。

   if (xl == rts) 
        return rts; //Change in root is negligible.

也许您应该将其计算为比率：

   diff = fabs(xl - rts);
   if (diff/xl <= 1.0e-8)  // pick your own accuracy value here
      return rts;
于 2012-11-13T15:28:19.310 回答
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我不确定确切的原因，但在这种情况下，检查函数是否足够快地下降似乎不起作用。

如果我这样做，它会起作用：

  double old_f = f;

  .
  .
  .

    if ((((rts-xh)*df-f)*((rts-xl)*df-f) > 0.0) //Bisect if Newton out of range,
        || (fabs(2.0*f) > old_f)) { //or not decreasing fast enough.
  .
  .
  .

    if (fabs(dx) < xacc)
      return rts;// Convergence criterion
    old_f = f;

更新

您的代码中似乎存在问题：

evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&dx);

应该

evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&df);
于 2012-11-13T16:23:33.160 回答