math - 证明只存在 4 个因数？

Question

我很难理解为什么 40585 是存在的最大因子。为什么不能有一个更大的？

维基百科说，“这在 d ≥ 8 时不成立。” 换句话说，任何因子都不能超过 7 位。

但这是怎么知道的？如何证明？对于非常非常大的数字，也许还没有经过测试的数字呢？

Answer 1

对于d =7 你有

10 ⁶ = 1,000,000 ≤ n ≤ 2,540,160 = 9!∙7

存在一些满足这个不等式的n，即使它们实际上都不是一个因式。对于d =8 你得到

10 ⁷ = 10,000,000 ≤ n ≤ 2,903,040 = 9!∙8

由于左侧已经大于右侧，n的值不可能同时满足这两个不等式。随着左手边在d中呈指数增长，而右手边只是线性增长，问题只会变得更加严重，因为左手边的增长速度将比右手边快得多。

这两个界限的原因很简单：数字必须至少有d位，而具有这么多位的最小数字是 10 ^{d -1}。另一方面，它必须是d阶乘的总和，每个阶乘代表一位数，而您可以通过这种方式获得的最大阶乘是 9！。因此不等式。