4

下面的结果怎么可能A*(A\D)不等于D？

在此处输入图像描述

它应该产生D- 这是 Octave 文档的摘录：

线性方程组在数值分析中无处不在。要求解线性方程组 Ax = b，请使用左除法运算符 '\'：x = A \ b

以下是想要尝试的人的代码：

A = [1,1,1;0,0,0;2,1,2;2,1,2;3,5,6]
D = [1;2;3;4;5]
% A is of rank 3:
rank(A)
% therefore the system Ax=D has a unique solution
x = A\D
% but Octave has not given the good solution:
A*x

有人说我 Matlab 产生完全相同的结果。

编辑 2012 年 10 月 10 日：在阅读完答案后，让我指出我犯了一个严重错误的地方：声称“A 等级为 3，因此系统 Ax=D 具有唯一解”是绝对错误的！顺便说一句，上面显示的文档非常令人不安。

4

2 回答 2

7

A有 5 行，D. 它们都有 3 列。因此，您有一个由 5 个方程和 3 个变量组成的超定系统。在大多数情况下，这意味着您无法准确求解方程，因为您有太多约束。

一旦你这样做

x = A\D;

你得到最小二乘解。

 0.8333
-1.5000
 1.6667

这是什么解决方案？这是一种最小化误差平方和的解决方案。让我们计算误差：

  r = A*x-D;
  totalError = sum( r.^2);

这意味着您将无法找到任何具有较小错误的x此类。sum(sqr(A*x-D))

小备注：在您的情况下，您还有一行零 - 这导致方程式的实际数量变为 4

让我们再看看A*(A\D)：

>> A* (A\D)

ans =

    1.0000
         0
    3.5000
    3.5000
    5.0000

这看起来很熟悉！非常接近 [1;2;3;4;5]。第一行和最后一行是相同的。第二个是零，因为你放了一行零。在第 3 行和第 4 行中，A 中的行完全相同，但 B 中的值不同，对应于

2*x+ 1*y + 2*z  = 3;
2*x+ 1*y + 2*z  = 4;

你已经得到了他们的平均水平！这是有道理的，因为平均值是将距离总和最小化为 3 和 4 的值。

这是一个更简单的示例，假设您要求解以下方程组：

   x = 1;
   x = 2;

显然，x不能1同时2。最小化误差平方和的解是1.5

   A = [1;1];
   b = [1;2];
   A\b
   ans =
    1.5000
于 2012-10-08T10:20:30.333 回答
2

您的系统A是超定的（A 是矩形），因此您不能完全解决您的系统：

矩形矩阵 如果 A 是矩形，则 mldivide 返回最小二乘解。MATLAB 使用 QR 分解解决超定系统（请参阅 qr）。对于欠定系统，MATLAB 返回具有最大数量的零元素的解。

于 2012-10-08T10:20:20.740 回答