math - 正切公式

Question

我有这个公式

B = tan(atan(A) + C)

其中 A 是输入，B 是输出，C 是常数。问题是 sin、cos 和 tan 函数的计算量很大，而且当计算为 4 字节浮点数时，公式的精度损失相当大。我正在优化我的代码，所以即使计算总数高出几倍，有什么方法可以避免使用这些函数？

进一步背景：数字 A、B 和 C 是二维平面上 3 个点的 x/y 坐标的比率

Answer 1

根据Wolfram Alpha，tan(atan(A)+C)可以写为(A+tan(C))/(1-A*tan(C)).

您可以从切线和公式中轻松地手动得出：

tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a tan b)。

如果tan您的数学库中的实现很慢或不准确，则可能存在更快或更精确的实现。

Answer 2

我会假设你的公式是正确的。Mark 的评论基本上归结为 C 必须具有角度单位才能使公式有意义的想法，但如果 C 是比率，那么它将没有适当的单位。马克有一个有效的问题。

最后，您仍然需要计算切线，但您可以做一些事情来提供一些帮助。

首先，对sum 的切线应用一个简单的三角恒等式。这与 tan(atan(A)) = A 相结合，将您的公式简化为

B = (A + tan(C))/(1 - A*tan(C))

因此，您仍然需要计算一个切线，即 C 的切线。（因此预先计算 tan(C) 一次。）没有什么能解决这个问题。

但是，有一些方法可以比 sin(C)/cos(C) 更有效地计算切线。例如，直接级数近似可能更好。或者有一个使用 versine 级数的技巧，它本身比切线级数计算效率更高。对于小角度，它可以快速收敛。您可以使用该 versine 的范围缩小技巧来确保小角度。其他技巧也存在。

Answer 3

atan(A) = atan(x_a/y_a)对于某些点是矢量(x_a,y_a)和 Oy 之间的角度。因为C是一个常数，你可以预先计算一些c=(x_c,y_c)单位长度的向量，并以角度C倾斜Oy。然后cos(atan(A)+C)可以表示为这些向量的内积除以a的长度。从 cos 中，您可以使用主要身份获得棕褐色。最后得到：

B = sqrt((x_a^2 + y_a^2)/(x_a*x_c + y_a*y_c)^2 - 1)

这可能更有效。小心标志。